12. Тестовые функции

Эффективность программ оптимизации проверяют на наборе тестовых функций. В таблице представлены функции, а на рис. П.12.1…П.12.10 – линии равных уровней некоторых из них.

Тестовая функция	Минимум x*
y1 = 100(x2 – x12)2 + (1 – x1)2	(1; 1)t
y2 = (x2 – x12)2 + (1 – x1)2	(1; 1)t
y3 = (x2 – x12)2 + 100(1 – x1)2	(1; 1)t
y4 = 100(x2 – x13)2 + (1 – x1)2	(1; 1)t
y5 = [1.5 – x1(1 – x2)]2 + [2.25 – x1(1 – x22)]2 + [2.625 – x1(1 – x23)]2	(3; 0.5)t
y6 = (x12 + x2 – 11)2 + (x1 + x22 – 7)2	(3; 2)t
y7 = (x1 – 2)2 + (x2 – 1)2 + 0.04/(–0.25x12 – x22 + 1) + 5(x1 – 2x2 + 1)2	(1.795; 1.378)t
y8 = (2x12 + 3x22)exp(x12 – x22)	(0; 0)t
y9 = 100(x2 – x12)2 + (1 – x1)2 + 90(x4 – x32)2 + (1 – x3)3 + + 10.1[(x2 – 1)2 + (x4 – 1)2] + 19.8(x2 – 1)(x4 – 1)	(1; 1; 1; 1)t
y10 = (x1 – 10x2)2 +5(x3 – x4)2 + (x2 – 2x3)4 + 10(x1 – x4)4	(0; 0; 0; 0)t
y11 = 0.1[12 + x12 + (1 + x22)/x12 + (x12x22 + 100)/(x14x24)]	(1.743; 2.036)t

y₂ = (x₂ – x₁²)² + (1 – x₁)²

y₁ = 100(x₂ – x₁²)² + (1 – x₁)²

x₂

x₂

x₂

x2 Рис. П.12.1

Рис. П.12.2

y₃ = (x₂ – x₁²)² + 100(1 – x₁)²

y₄ = 100(x₂ – x₁³)² + (1 – x₁)²

Рис. П.12.3

Рис. П.12.4

y₅ = [1.5 – x₁(1 – x₂)]² + [2.25 – x₁(1 – x₂²)]² + + [2.625 – x₁(1 – x₂³)]²

x₂

y6 = (x12 + x2 – 11)2 + (x1 + x22 – 7)2 x2 Рис. П.12.5
Рис. П.12.6

y₈ = (2x₁² + 3x₂²)exp(x₁² – x₂²)

x₂

x₂

y7 = (x1 – 2)2 + (x2 – 1)2 + + 0.04/(–0.25x12 – x22 + 1) + + 5(x1 – 2x2 + 1)2 y9 = 100(x2 – x12)2 + (1 – x1)2 + 90(x4 – x32)2 + (1 – x3)3 + + 10.1[(x2 – 1)2 + (x4 – 1)2] + 19.8(x2 – 1)(x4 – 1) x2 Рис. П.12.7

Рис. П.12.8

Рис. П.12.9

y₁₀ = (x₁ – 10x₂)² +5(x₃ – x₄)² + (x₂ – 2x₃)⁴ + 10(x₁ – x₄)⁴

x₂

Рис. П.12.10

Содержание

Предисловие 4

Лабораторная работа 1. Исследование методов одномерного поиска минимума унимодальных функций 5

Лабораторная работа 2. Исследование методов полиномиальной интерполяции для поиска минимума целевых функций 7

Лабораторная работа 3. Исследование методов линейного поиска 8

Лабораторная работа 4. Исследование градиентных методов 10

Лабораторная работа 5. Проектирование программы оптимизации 12

Лабораторная работа 6. Исследование модификаций ньютоновских оптимизационных процессов 14

Лабораторная работа 7. Исследование методов переменной метрики 15

Лабораторная работа 8. Исследование методов сопряженных градиентов 17

Лабораторная работа 9. Исследование методов безусловной оптимизации нулевого порядка 19

Лабораторная работа 10. Исследование алгоритмов случайного поиска 20

Лабораторная работа 11. Исследование методов нелинейного программирования 21

Список литературы 24

Приложения 25

1. Метод средней точки (метод Больцано) 25

2. Метод трехточечного поиска на равных интервалах 25

3. Метод Ньютона 26

4. Метод линейной интерполяции (метод секущих) 26

5. Метод кубической интерполяции для одномерной минимизации 27

6. Метод Фибоначчи 28

7. Метод Сука–Дживса с одномерной минимизацией 29

8. Метод Зангвилла 29

9. Алгоритм LPτ-поиска 30

10. Формулы методов переменной метрики 32

11. Минимизация целевых функций в Microsoft Excel 97 33

12. Тестовые функции 41

Редактор Э. К. Долгатов

Подписано в печать    .   .   . Формат 6084 1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Гарнитура «Times» Печ. л. 2,75.

Тираж 200 экз. Заказ

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»