Представление вещественных чисел в формате с плавающей точкой

Как и для целых чисел, при представлении вещественных чисел в компьютере используется чаще всего двоичная система счисления, следовательно, предварительно десятичное число должно быть переведено в двоичную систему, а уж затем представлено в нормализованной форме с Р = 2.

При представлении нормализованных чисел часть разрядов ячейки отводится для записи порядка числа, остальные разряды — для записи мантиссы. По одному разряду в каждой группе отводится для изображения знака порядка и знака мантиссы. О таком представлении говорят, что число записано в формате с плавающей точкой.

Например, можно представить себе такое распределение разрядов ячейки памяти:

Sq

Sm

Bk

Bk-1

...

B2

B1

A1

A2

...

An-1

An

Первые два разряда служат для представления знаков порядка (S_q) и мантиссы (S_m) соответственно. Следующие k разрядов используются для представления абсолютной величины порядка числа (q), остальные n разрядов — для представления абсолютной величины мантиссы. В каждом разряде ячейки может храниться одно из двух значений: 0 или 1.

Тогда изображенному на схеме состоянию ячейки соответствует число

При такой системе записи наибольшее по абсолютной величине число, которое может быть представлено в компьютере, равно , а наименьшее по абсолютной величине число, отличное от нуля, равно .

Вещественных чисел, точно представимых в компьютере, конечное число. Остальные числа либо приближаются представимыми, либо оказываются непредставимыми. Последнее относится к слишком большим и к слишком маленьким вещественным числам.

Выполнение арифметических операций над вещественными числами.

Использование в компьютере представления чисел в формате с плавающей запятой усложняет выполнение арифметических операций.

При сложении и вычитании чисел сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков. Она состоит в том, что мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своей ячейке вправо на количество разрядов, равное разности порядков данных чисел. После этой операции одноименные разряды мантисс оказываются расположенными в одноименных разрядах обеих ячеек, и теперь уже сложение или вычитание мантисс выполняется достаточно просто, так же как над числами с фиксированной запятой.

Пусть a = ±0,m_a × 2^q(a), b = ±0,m_b × 2^q(b) — два нормализованных двоичных числа, и q(a)>q(b). Результатом их сложения или вычитания будет являться следующее выражение: c = (0,m_a ±0,m_b × 2^q(a)-q(b)) ×2^q(a).

После операций над порядками и мантиссами мы получаем порядок и мантиссу результата, но последняя, вообще говоря, может не удовлетворять ограничениям, накладываемым на мантиссы нормализованных чисел. Так как от результата арифметических операций в компьютере требуется, чтобы он также был нормализованным числом, необходимо дополнительное преобразование результата — нормализация. В зависимости от величины получившейся мантиссы результата, она сдвигается вправо или влево так, чтобы ее первая значащая цифра попала в первый разряд после запятой. Одновременно порядок результата увеличивается или уменьшается на число, равное величине сдвига.

Над мантиссами в арифметическом устройстве могут выполняться все четыре арифметических действия, а также операции сдвига, тогда как над порядками производятся только действия сложения и вычитания. Отрицательные порядки можно записывать в дополнительном коде для того, чтобы операцию вычитания свести к операции сложения.

В ряде случаев, даже если некоторые два числа были представлены в формате с плавающей запятой абсолютно точно, результат выполнения над ними арифметических операций часто может содержать погрешность, а иногда может быть заведомо неверным.

Поясним более подробно особенности выполнения арифметических операций над вещественными числами на примерах. При этом будем считать, что в записи вещественного числа с плавающей запятой один разряд отводится под десятичный порядок и пять разрядов — под десятичную мантиссу.

Пример: Предположим, что требуется сложить следующие числа: 0,23619 × 10² и 0,71824 × 10^-1. Так как порядки у чисел различны, то перед сложением производится выравнивание порядков. Число с меньшим порядком преобразуется в число с порядком, равным порядку другого слагаемого (меньший порядок «приводится» к большему). В данном случае второе слагаемое будет преобразовано к виду 0,00071824 × 10², после чего выполняется сложение 10² × (0,23619 + 0,00071824) = 10² × 0,23690824 Результат получили с большим числом разрядов, чем вмещает ячейка, поэтому он округляется и записывается в памяти в виде 0,23691 × 10².

Пример. Выполним сложение двух вещественных чисел: 0,23619 × 10⁸ и 0,91824 × 10⁸. Так как порядки у этих чисел одинаковы, то производить операцию выравнивания порядков не требуется. Операция сложения сводится к сложению мантисс. Результат — ненормализованное число 1,15443 × 10⁸. Требуется выполнить нормализацию путем сдвига мантиссы вправо на один разряд, а затем округление результата, так как в мантиссе будет уже шесть цифр, а в ячейке памяти под мантиссу отведено их только пять. Ответ: 0,11544 × 10⁹.

Пример. Выполним сложение двух вещественных чисел, одно из которых достаточно большое по сравнению со вторым: 0,23619 × 10³ и 0,91824 × 10^-3. Так как порядки у этих чисел различны, то требуется произвести предварительную операцию их выравнивания. После выполнения выравнивания порядков складываться будут следующие числа:

10³ × 0,23619 ⁺ 10³ × 0,00000091824 = 10³ × 0,23619091824

После сложения в мантиссе оказалось более пяти значащих цифр и при записи в ячейку памяти произойдет округление результата до 0,23619 × 10³ . Получившееся число равно первому слагаемому, т. е. при выравнивании порядков все значащие цифры мантиссы второго слагаемого потеряны. Таким образом, мы получили результат, невозможный с точки зрения обычной математики: a + b = a при b>0. Но в компьютерной арифметике с ограниченным числом разрядов такой результат возможен, и об этом необходимо помнить при составлении алгоритмов решения задач.

При умножении двух целых чисел с плавающей запятой их порядки необходимо просто сложить, а мантиссы — перемножить (предварительное выравнивание не производится). При делении из порядка делимого надо вычесть порядок делителя, а мантиссу делимого разделить на мантиссу делителя. Результатами выполнения операций умножения и деления нормализованных чисел а и b в арифметике с ограниченным числом разрядов будут:

Пример. Выполним умножение двух вещественных чисел: 0,23000 × 10³ и 0,95000 × 10⁷. При умножении двух вещественных чисел в представлении с плавающей запятой порядки складываются, а мантиссы перемножаются. В результате получим: 0,21850 × 10¹⁰. Это число не умещается в отведенный формат — в нашем формате под порядок отводится один разряд, а в получившемся числе порядок содержит две цифры. Выполнение операции умножения над этими числами приведет к прекращению выполнения программы в связи с ошибкой «переполнение порядка».

Пример. Выполним деление двух вещественных чисел: 0,92000 × 10⁴ и 0,30000 × 10⁷. При делении вещественных чисел в представлении с плавающей запятой порядки вычитаются, а мантиссы делятся одна на другую. В нашем примере при делении мантисс мы имеем бесконечную периодическую дробь 0,92:0,3 = 3,0(6). Следовательно, при записи мантиссы результата произойдет ее округление. После нормализации результат будет иметь вид: 0,30667 × 10^-2.