2.3. Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

и метода группировок

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитически связь между ними описывается уравнениями прямой линии, гиперболы, параболы.

Оценка параметров уравнений регрессии – а₀, а₁ – осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от значений, полученных по уравнению связи признаков (регрессии). В формализованном виде это условие представлено в формуле (4):

. (4)

Парная линейная корреляция является простейшей системой корреляционной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связей для выполнения расчетов преобразуются в линейную форму. Расчет коэффициента парной линейной регрессии приведен в формуле (5).

. (5)

Коэффициент парной линейной регрессии а₁ показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу собственного измерения. Или коэффициент а₁ показывает вариацию результативного признака, приходящуюся на единицу вариации факторного признака.

В уравнениях регрессии свободный параметр а₀ показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных в уравнении связи факторных признаков.

Расчет свободного параметра уравнения парной линейной регрессии приведен в формуле (6).

. (6)

2.4. Измерение характеристик тесноты связи между признаками

Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака от одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных) факторных и основывается на расчете и анализе приведенных ниже показателей.

Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости, вычисляется по формуле (7).

₍₇₎

Линейный коэффициент корреляции показывает отклонение признака-фактора от его среднего значения на величину своего среднего квадратического отклонения, что в среднем по совокупности приводит к отклонению признака результата от своего среднего значения на r_xy его среднего квадратического отклонения. В отличие от коэффициента парной линейной регрессии а₁ коэффициент корреляции r_xy не зависит от принятых единиц измерения признаков, а стало быть, он сравним для любых признаков.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации. Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до +1. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При этом интерпретацию выходных значений коэффициента корреляции можно представить в табл. 2.

Корреляционное отношение также измеряет тесноту парной связи как при линейной, так и при нелинейной форме зависимости между ними и вычисляется по формуле (8).

, (8)

где – индивидуальные значения результативного признака; – значение результата по уравнению связи; – общее среднее значение результата.