Задача 13.31

Найти интеграл: .

Решение.

К задачам 14 и 15

Площадь криволинейной трапеции,

• «примыкающей» к оси 0х, вычисляется по формуле ,

• «примыкающей» к оси 0у - по формуле

.

Кроме того, для чертежа

имеем: . В этом случае проекция фигуры на ось 0х имеет две «вершины» а и в, а на ось 0у - четыре «вершины» m, n, p, q. Выбор оптимального варианта формулы для вычисления площади фигуры определяется наименьшим числом «вершин», получающимся при проектировании фигуры на координатные оси.

Задача 14.31

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение

Решая систему, находим точки пересечения графиков заданных функций:

.

Графики, - параболы с осями симметрии, параллельными оси 0х, - пересекаются в точках А(3; 0) и В(0; 3). Построим фигуру. Парабола (I) пересекает ось 0у в точках С(0; -1) и В(0; 3), а парабола (II) - в точках D(0; 1) и В(0; 3). Оси симметрии: (I) y = 1; (II) y = 2. Вершины: (I) P(4; 1); (II) Q(-1; 2). Направления ветвей парабол: (I) налево; (II) направо.

Проекция фигуры на ось 0у имеет две «вершины», в то время как на ось 0х – четыре «вершины». Поэтому оптимальным является второй вариант вычисления площади.

Ответ:

ЗАДАЧА 15.31

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми:

, .

Решение

Сделаем чертеж.

Ответ:

К ЗАДАЧЕ 16

Площадь фигуры в полярной системе координат , примыкающей к полюсу 0 (как сектор между лучами ), вычисляется по формуле

.

ЗАДАЧА 16.31

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах:

.

Решение

Здесь мы имеем окружности радиусов 3 и 2, проходящие через полюс, центры которых расположены на луче .

Поэтому .

По другому:

.

Ответ: .

К ЗАДАЧЕ 17

Если кривая задана уравнением (функция f предполагается непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b]), то ее длина вычисляется по формуле

.

ЗАДАЧА 17.31

Вычислить длину дуги кривой

.

Решение.

Заметим, что

.

Поэтому .

Ответ: .

К ЗАДАЧЕ 18

Если кривая задана параметрическими уравнениями

,

то ее длина вычисляется по формуле

.

ЗАДАЧА 18.31

Вычислить длину дуги кривой

.

Решение.

Имеем:

.

Поэтому

.

Ответ: .

К ЗАДАЧЕ 19

Если кривая задана уравнением в полярных координатах

,

то ее длина вычисляется по формуле

.

ЗАДАЧА 19.31

Вычислить длину дуги кривой .

Решение.

Здесь . Поэтому и

.

Проверка. Здесь мы имеем окружность радиуса 3, проходящую через полюс полярной системы координат, причем полярная ось касается окружности

.

Из геометрии известно, что величина угла между хордой и касательной к окружности равна половине величины центрального угла, опирающегося на хорду. Поэтому центральный угол равен и, следовательно, соответствующая длина дуги окружности равна 1/3 длины окружности, т.е. .

Ответ: .

К ЗАДАЧЕ 20

Объем тела по известным площадям параллельных сечений тела вычисляется по формуле

.

Надо знать формулы для вычисления площадей известных фигур (треугольника, трапеции и т.п.) Можно показать, что площадь фигуры, ограниченной эллипсом ,

вычисляется по формуле .

ЗАДАЧА 20.31

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

.

Решение.

Надо вычислить объем части эллипсоида между плоскостями . Каждая плоскость, перпендикулярная оси 0z, пересекает наше тело по эллипсу

.

Так как площадь такого сечения

,

то

.

Ответ: .

К ЗАДАЧЕ 21

Объем тела, образованного вращением фигуры Ф вокруг оси 0х, вычисляется по формуле:

,

где - уравнения кривых, ограничивающих фигуру Ф соответственно сверху и снизу, на [a, b], - проекция фигуры Ф на ось 0х.

ЗАДАЧА 21.31

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0у фигуры, ограниченной кривыми

.

Решение.

Нарисуем фигуру (на чертеже она заштрихована). При вращении вокруг оси 0у образуется тело: в цилиндре сделана «параболическая выемка».

Так как , то объем «параболической выемки» вычисляется по формуле

,

где . Поэтому:

.

Объем цилиндра , т.к. R = 2, H = 1.

Таким образом: .

Ответ: .