1. Алгебраические модели. Группы, поля, пространства

Множество элементов , , , называется группой, если определена бинарная операция , которая каждой паре элементов , ставит в соответствие элемент так, что выполняются свойства (аксиомы группы):

а) (замкнутость по отношению к операции );

б) (ассоциативность операции );

в) (существование нейтрального элемента);

г) (существование обратного элемента для каждого элемента группы).

Группа называется коммутативной (абелевой) если .

Множество элементов , , , называется полем, если на нем определены две бинарные операции и , условно называемые сложением и умножением, такие, что выполняются аксиомы поля:

а) является коммутативной группой по сложению;

б) совокупность всех ненулевых элементов является коммутативной группой по умножению;

в) , (дистрибутивность сложения и умножения).

Множество элементов , , , называется линейным (векторным) пространством над полем , а элементы множества называются векторами, если на определены две бинарные операции – сложение векторов (+) и умножение вектора на скаляр ( ), такие, что

I) есть коммутативная группа по сложению векторов.

II) Операция умножения вектора ( , ,…) на скаляр ( , ,…) удовлетворяет следующим условиям:

а) (замкнутость пространства относительно умножения вектора на скаляр);

б) (ассоциативность умножения вектора на скаляр);

в) , (дистрибутивность сложения векторов и умножения вектора на скаляр);

г) , где – элемент поля (скаляр), нейтральный относительно операции умножения скаляров в поле .

Метрикой (расстоянием) на произвольном множестве называется вещественная функция (или функционал¹) , определенная для любой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

а) , и только если ;

б) (симметрия);

в) (неравенство треугольника).

Множество , на котором задана метрика , называется метрическим пространством .

Пусть – линейное пространство над полем . Функция (функционал) называется нормой вектора , если она удовлетворяет следующим условиям:

а) , причем , только если ;

б) (неравенство треугольника);

в) .

Пусть – линейное пространство над полем (или ). Функция (функционал) называется скалярным произведением, если она удовлетворяет следующим условиям:

а) ;

б) ;

в) , причем , только если .

В пространстве со скалярным произведением выполняется неравенство Шварца

или ,

на основе которого может быть введено понятие угла между векторами (только для пространства над полем ), такого что

.

Совокупность векторов линейного пространства является линейно независимой, когда в том и только в том случае, если при всех (здесь – количество векторов).

Если в пространстве можно найти линейно независимых элементов, а любые элементов этого пространства линейно зависимы, то пространство имеет размерность . Если в можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых векторов, то говорят, что пространство бесконечномерно.

Базисом -мерного пространства называется любая система из линейно независимых векторов. Базисом бесконечномерного пространства является бесконечная совокупность векторов, такая, что любое ее конечное подмножество линейно независимо.