B.4Обобщенный сигнальный граф

Обобщенный сигнальный граф – это топологическая структура отражающая систему линейно-независимых уравнений. Следовательно в обобщенном сигнальном графе отсутствует вершина (или узел), связанная с землей, т.е. являющаяся общей (базовой). Базовый узел имеет нулевой потенциал, от которого отсчитываются все напряжения цепи и в базовый узел стекаются (или из него растекаются) все токи. Следовательно уравнение, отражающее базовый узел, всегда является линейной комбинацией уравнений остальных узлов (или вершин).

Дуга – сведенный до уровня двухполюсника элемент схемы, который изображается на модели в виде проводимости G.

Схема: регулятор тембра на низких частотах

Применим метод узловых напряжений.

Выделим: ; ; и ; один базовый узел (земля) и один узел задающего воздействия (входной) - .

МУН :

Введем: и проводимости : :

Т.к.

=> => =>

=>  =

=

Сл-но, системе линейных независимых уравнений разрешена. Для ее решения может быть применен любой матричный метод, например, метод Гаусса,

Мы применим метод Крамера и определим только :

где

Замечание: Система уравнений (**)полностью соответствует правилам составления системы уравнения для обобщенного сигнального графа.

Для того, чтобы с помощью правила Крамера вычислить напряжение в любой из узлов цепи или получить выражение для передаточной характеристики цепи вовсе не обязательно строить линейный граф цепи. Дело в том, что указанные величины можно вычислить и в случае построения обобщенного сигнального графа, минуя стадию составления системы нелинейных уравнений. Для этой цели служит формула Мезона:

n – количество путей;

где P_i – вес i – го пути от вершины истока до вершины выхода, равный произведению весов однонаправленных друг на нем лежащих;

определитель графа цепи (главный определитель системы).

определитель той части графа (подграфа), которая остается при удалении вершины i – го пути и всех примыкающих к этим вершинам друг (как входящих, так и исходящих). Если i – й путь проходит через все вершины, то принимается .

Т.о. формула Мезона есть воплощение правила Крамера для обобщенного сигнального графа. Определители в формуле Мезона отличаются от правила Крамера только способом вычисления. Для n путей.

B.5Формула мезона

Формула мезона (для n - путей)

где:	Bj и Pj	веса вершин и дуг, соответственно;
	n –	количество путей;
	l и m –	количество вершин и контуров графа, соответственно;
	q –	количество дуг пути от вершины истока до выхода;
	k –	количество дуг контура;
	l’ и m’ –	количество вершин и контуров графа, соответственно, оставшегося после удаления вершин пути и примыкающих к ним дуг;
	l’’–	количество вершин, не касающихся контура.

В общем случае,

где:	“*” –	означает количество контуров;
		произведение весов взвешенных вершин и графа;
		произведение весов дуг по одному из контуров; взятых с обратным знаком, на веса вершин, не принадлежащих этому контуру;
		для пары контуров – произведение дуг, взятых с обратным знаком, на веса всех не вошедших в эти контура взвешенных вершин.
		вычисляется так же как и но для части графа, не касающегося i – го пути