Будущая стоимость

Рубль, полученный сегодня, более ценен, чем рубль, который будет получен в будущем, потому что, если он у вас уже имеется, вы можете вновь вложить его в бизнес, получить проценты и в будущем получить большую сумму, чем один рубль. Процесс перехода от текущей стоимости (PV) к будущей стоимости (FV), называется наращиванием сложного процента.

r – ставка наращивания

Наращение по простым процентам

В общем случае наращение по годовой ставке простых процентов вычисляют по формулеДля расчета суммы простого процента в процессе наращения (компаундинга) используют формулу:

где

- будущая стоимость (величина);

- первоначальная сумма вклада;

- процентная ставка, доли единицы;

- число периодов (лет).

На практике продолжительность краткосрочной операции обычно меньше года. В этом случае срок проведения операции корректируется следующим образом:

где

- число дней проведения операции;

- временная база (число дней в году).

С учетом корректировки срока операции ее будущую стоимость можно определить как

В процессе проведения анализа в качестве временной базы B часто удобно использовать условный, или финансовый, год, состоящий их 360 дней (12 месяцев по 30 дней). Исчисляемые по такой базе проценты называются обыкновенными, или коммерческими.

Точные проценты получают при базе, равной фактическому числу дней в году, т.е. при B = 365 или 366.

Пример. Определить будущую стоимость вклада за год при следующих условиях: сумма вклада – 6000 руб., квартальная ставка процента – 3%.

Наращение по сложным процентам

Рассмотрим технологию наращения по сложным процентам на следующем примере.

Пример. Сумма в 100 ед. помещена в банк на депозит сроком на 3 года. Ставка по депозиту – 8%. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?

По условиям данной операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада PV=100,00 ед., процентная ставка r=8% и срок n=3 года.

Определим будущую величину вклада на конец первого периода

Соответственно, для второго периода величина FV будет равна

Для последнего периода (n=3)

Для определения суммы вклада в процессе наращивания по сложным процентам применяют формулу:

Таким образом, наращение по сложным процентам подразумевает реинвестирование полученных доход.

На практике, в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежемесячно, ежеквартально и т.д. в этом случае соотношение для исчисления будущей стоимости иметь следующий вид:

, где

m – число периодов начисления в году.

Пример. Допустим, что в предыдущем примере проценты выплачиваются ежеквартально (m=4). Определим :

Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту по формуле

Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой, или ставкой сравнения.

Пример. На 4-летний депозит в 10 000,00 ед. производится ежеквартальное начисление сложных процентов по ставке 2,5%, т.е. из расчета 10% годовых. Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10 000, 00 ед., вложенный на тот же срок под 10%, начисляемых один раз в год?

Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций:

Ежеквартально - ед.

Ежегодно - ед.

Таким образом, условия помещения суммы в 10 000, 00 ед. на депозит сроком на 4 года под .%, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813%. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.