2.2 Уравнение скоростной связи

При выводе уравнения чувствительного элемента предполагается, что сила вязкого трения и инерционная сила подпружиненного поршня пренебрежимо малы, жидкость несжимаема, движение жидкости через дроссельный пакет ламинарное.

С учетом принятых допущений составляется уравнение расхода жидкости в узле В:

, (5)

в узле С:

, (6)

в узле Д:

. (7)

Уравнение баланса сил, действующих на подпружиненный поршень:

. (8)

Распишем расходы жидкости:

- массовый расход жидкости через жиклер Ж;

- расход жидкости через соплозаслонку;

- расход жидкости через канал между узлами В и С;

- расход жидкости, обусловленный движением поршня;

- расход жидкости через дроссельный пакет Др;

- расход жидкости в полость под сервопоршнем;

, - силы противодействия пружин 1

и 2 соответственно;

, и - силы давления топлива на поршень сверху и снизу соответственно;

- коэффициенты расхода;

- площади проходных сечений жиклера и дроссельного пакета соответственно;

-максимальная площадь сопла заслонки (при z=0);

-площадь поршня;

-давление жидкости в канале А;

-давление в узле Д;

-давление жидкости в полости под сервопоршнем;

- плотность жидкости;

, - усилия первоначальной затяжки пружин 1 и 2 соответственно.

Складывая уравнения (5) и (6), получаем:

.

С учетом уравнения (7):

. (9)

Уравнения (7) и (9) в отклонениях параметров перепишем в виде:

,

.

Принимая для всех отклонений расходов одно базовое значение , можно преобразовать последние равенства к следующей безразмерной форме:

, (10)

, (11)

где , , , , .

Для связи приращений расходов с приращениями давлений в канале А и узле Д и приращением перемещения заслонки проводится линеаризация расходных характеристик для , , , . Для этого вначале логарифмируем выражение :

.

С учетом того, что , проведем дифференцирование последнего выражения:

Переходя от производных к малым приращениям =d:

,

или в безразмерных параметрах:

, (12)

где .

Проводя такие же преобразования для с учетом того, что , , можно получить:

, (13)

где .

Аналогичные преобразования проводятся и для с учетом того, что , :

, (14)

где .

Таким же образом получаем выражение для с учетом того, что, , (т.к. изменение расхода в полость под сервопоршнем приводит к перемещению сервопоршня, а давление остается постоянным), :

.

откуда можно получить:

. (15)

Уравнение баланса сил записываем в отклонениях параметров:

,

или

, (16)

где .

Разделив обе части уравнения (16) на и перейдя от приращений к производным, получаем:

.

Подставляя последнее выражение в уравнение для , получаем:

.

Имея в виду, что

,

можно выразить приращение расхода, обусловленного изменением перехода давления на поршне в безразмерных параметрах:

, (17)

Выражения (12) и (13) для приращений и подставляются в равенство (11), из которого выражается приращение давления :

. (18)

Продифференцировав последнее выражение по времени, получим:

. (19)

После дифференцирования выражения (15) получим:

. (20)

Выражения (14) и (17) для приращений и подставляются в равенство (10):

.

(21)

Из совместного решения уравнений (20), (21), (18), (19), (15) можно получить уравнение скоростной связи:

, (22)

где