Геометрические характеристики плоских сечений

Простейшая геометрическая характеристика плоской фигуры – её площадь. От площади поперечного сечения зависят прочность и жесткость стержня при осевом растяжении и сжатии.

При изучении изгиба, кручения, различных случаев работы стержня на сложное сопротивление, а также при расчетах сжатых стержней на устойчивость приходится встречаться с более сложными геометрическими характеристиками плоских сечений: статическими моментами, моментами инерции, моментами сопротивления, радиусами инерции.

Геометрические характеристики сечений простой формы могут быть вычислены по соответствующим формулам. В таблицах ГОСТа приводятся геометрические характеристики профилей стандартного проката: равнополочных ( ГОСТ 8509-93) и неравнополочных ( ГОСТ 8510-86) уголков, двутавров ( ГОСТ 8239-89), швеллеров ( ГОСТ 8240-89). Для вычисления геометрических характеристик сечений сложной формы их приходится расчленять на ряд простых фигур и пользоваться формулами, устанавливающими зависимость между геометрическими характеристиками относительно различных осей.

Рассмотрим основные свойства и методы вычисления геометрических характеристик плоских сечений.

СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ

Статическим моментом площади сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади A сумма произведений элементарных площадок dA на расстояние до соответствующей оси (рис.4.1):

(4.1)

где - статический момент площади сечения относительно оси x;

- статический момент площади сечения относительно оси y.

Размерность статического момента – (ед. длины)³, например, мм³, см³, м³.

Если уподобить сечение однородной пластинке, то нетрудно установить тождественность определения статического момента площади сечения и момента силы тяжести этой пластинки. Используя теорему о равнодействующей, можно получить удобную для расчетов формулу вычисления статического момента простой фигуры:

(4.2)

где - координаты центра тяжести сечения.

Рис. 4.1

Если сечение имеет сложное очертание, то для определения статических моментов используется интегральная формула (4.1). Статический момент площади сечения может быть положительным, отрицательным, равным нулю в зависимости от положения оси, относительно которой он вычисляется. Ось, проходящая через центр тяжести сечения, называется центральной.

Для определения статического момента сложного сечения его расчленяют на отдельные простые фигуры (рис.4.2). На основании главного свойства интеграла статический момент сложного сечения равен сумме статических моментов составляющих его простых фигур:

(4.3)

где - координаты центра тяжести i-й простой фигуры.

Исходя из выражений (4.2) и (4.3), получаем формулы для нахождения координат центра тяжести сложного сечения, состоящего из n простых фигур:

(4.4)

Рис. 4.2

Из сказанного можно сделать следующий вывод: если какая-либо ось проходит через центр тяжести сечения, то статический момент площади сечения относительной этой оси равен нулю; и наоборот, если статический момент относительно какой-либо оси обращается в нуль, то эта ось является центральной.

ПОНЯТИЕ О МОМЕНТАХ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ

Осевым моментом инерции сечения относительно данной оси называется взятая по всей площади сечения сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой оси (см. рис. 4.1):

(4.5)

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса 0) называется взятая по всей его площади сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до полюса:

(4.6)

Осевые и полярный моменты инерции являются величинами существенно положительными. Пользуясь рис. 4.1, установим связь между полярным и осевым моментами инерции сечения:

Окончательно, учитывая формулы (4.5), имеем:

(4.7)

т.е. полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через полюс.

Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется взятая по всей его площади сумма произведений элементарных площадок на их расстояния до этих осей:

(4.8)

В зависимости от расположения осей центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Р ассмотрим центробежный момент инерции сечения относительно осей, одна из которых является осью симметрии фигуры (рис. 4.3). Легко заметить, что для каждой положительной величины в первом квадранте можно найти такую же отрицательную во втором квадранте, т. е. для всей фигуры

Итак, если хотя бы одна из осей является осью симметрии фигуры, то центробежный момент инерции сечения относительно этой оси и любой ей перпендикулярной равен нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными. Если начало координат этих осей совпадает с Рис 4.3 центром тяжести сечения, то их называют главными центральными.

Из определения моментов инерции (4.5), (4.8) очевидно, что они характеризуют расположение сечения относительно осей. Размерность моментов инерции – (ед. длины)⁴, например, мм⁴, см⁴, м⁴.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПРОСТЫХ СЕЧЕНИЙ

Прямоугольник (рис. 4.4)

Вычислим моменты инерции относительно главных центральных осей и . Для определения момента инерции относительно оси, выделим элементарную площадку в виде узкого прямоугольника, параллельного оси :

Рис.4.4

Момент инерции находим по формуле (4.5):

(4.9)

Очевидно, что относительно другой главной центральной оси момент инерции определяется как

(4.10)

Треугольник (рис.4.5)

Н айдем момент инерции относительно центральной оси . Выделим элементарную площадку в виде полоски, параллельной оси :

где .

Рис.4.5

В соответствии с формулой (4.5) получим:

(4.11)

Круг (рис.4.6)

Вычислим полярный момент инерции круга относительно его центра. Для этого радиусами и выделим произвольно расположенное бесконечно тонкое кольцо, площадь которого найдем как площадь прямоугольника со сторонами и :

Рис.4.6 Рис. 4.7

Полярный момент инерции круга

(4.12)

Моменты инерции круга относительно центральных осей легко найти на основании зависимости (4.7). В силу симметрии

следовательно

(4.13)

Кольцо (рис.4.7)

Моменты инерции кругового кольца определяются точно так же, как круга, но с учетом изменения нижнего предела интегрирования в связи с наличием отверстия:

(4.14)

где - коэффициент ослабления сечения, величина которого зависит от размера отверстия.

На основании соотношения (4.7) может быть получена формула для осевого момента инерции кольца:

(4.15)

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЛОЖНЫХ СЕЧЕНИЙ

При вычислении моментов инерции сложных сечений последние разбивают на отдельные простые составляющие фигуры, моменты инерции которых известны. Из основного свойства интеграла следует, что момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составляющих ее частей.

Найдем момент инерции сложного сечения относительно оси (см. рис.4.2). Разобьем сечение на простые фигуры. При вычислении будем последовательно суммировать произведения , охватывая площади простых фигур. Тогда

Очевидно, каждый из интегралов правой части представляет собой момент инерции соответствующей простой фигуры: , т.е.

Таким образом, для сложных сечений моменты инерции связаны следующими соотношениями:

(4.16)

Заметим, что отверстие в сечении следует считать фигурой с отрицательной площадью.

ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ

Пусть известны моменты инерции произвольного сечения относительно взаимно перпендикулярных осей (рис.4.8,а), которые определены согласно формулам (4.5) и (4.8):

Рис. 4.8

Найдем моменты инерции относительно осей , которые параллельны заданным осям :

Координаты любой точки в новой системе x₁,y₁ могут быть выражены через координаты в осях :

где - координаты старого начала координат осей в новой системе . Подставляя значение в выражение для , имеем

Учитывая, что

окончательно получаем

(4.17)

Аналогично может быть найдено выражение для момента инерции относительно оси :

(4.18)

Центробежный момент инерции относительно осей

или

(4.19)

Если исходные оси являются центральными (см. рис.4.8,б), то формулы при параллельном переносе осей упрощаются, так как статические моменты обращаются в нуль:

(4.20)

Отметим, что в последнюю из этих формул координаты следует подставлять с учетом их знака (в системе координат ).

Следует подчеркнуть, что относительно любой нецентральной оси осевые моменты инерции больше, чем относительно параллельной ей центральной.

ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ МОМЕНАМИ ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ

Будем считать известными моменты инерции сечения . Определим моменты инерции относительно осей (рис.4.9), повернутых на угол α (напомним, что в правой системе координат α>0 при повороте против хода часовой стрелки).

Установим связь между координатами и :

или .

Аналогично найдем : .

Рис.4.9

По определению , после подстановки имеем

Учитывая, что

получаем

Используя известные тригонометрические соотношения

и ,

приведем выражение к окончательному виду:

(4.21)

Путем аналогичных преобразований получим выражение для и :

(4.22)

(4.23)

Складывая почленно выражения (4.21) и (4.22),получаем

,

т. е. при повороте осей сумма осевых моментов инерции не изменяется. Следовательно, если один момент инерции возрастает, то другой убывает; один достигает максимального значения, другой – минимального.

Исследуем функцию (4.21) на экстремум, чтобы установить оси, относительно которых осевые моменты инерции сечения экстремальны:

Таким образом, условием экстремальности осевых моментов инерции является равенство нулю центробежного момента инерции относительно этих осей, т. е. осевые моменты инерции имеют максимальное и минимальное значения относительно главных осей, которым в случае несимметричных сечений дают свои обозначения, например, u и v.

Рассмотрим частный случай задачи, в которой известны моменты инерции относительно главных осей ( ), а требуется определить осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно осей , повернутых от главных осей u,v на угол . Нужные формулы легко получить из соотношений (4.21), (4.22), (4.23):

(4.24)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ. ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

По определению центробежный момент инерции относительно главных осей u и v равен нулю, т.е. I_uv=0. Приравнивая нулю правую часть выражения (4.23) при , получим

Это уравнение дает формулу для нахождения угла , определяющего положение главных осей u,v несимметричного сечения (см. рис.4.10), для которого известны моменты инерции I_x, I_y и I_xy:

или

(4.25)

Рис.4.10

Положительное значение угла откладываем от оси против хода часовой стрелки и получаем положение главной оси u, ось v перпендикулярна ей. Если , то откладываем его по ходу часовой стрелки. Это правило знаков справедливо для правой системы координатных осей. Если расчеты моментов инерции выполняются в левой системе координат, то правило знаков для угла изменяется на обратное.

Для вычисления главных моментов инерции следует подставить в формулы (4.21) и (4.22) значение :

(4.26)

(4.27)

Можно также получить формулы для вычисления главных моментов инерции, не содержащие тригонометрических функций. Для этого используем формулы (4.26), (4.27) и представление (4.23) для центробежного момента инерции относительно главных осей u,v ( ):

.

Возведем в квадрат правые и левые части этих выражений, сложим их и после простых преобразований получим весьма удобную для практических расчетов формулу:

(4.28)

Сумма дает значение наибольшего главного момента инерции , разность – наименьшего .

Для ответа на вопрос, относительно какой из осей ( или ) момент инерции максимален, надо руководствоваться следующим правилом: если , то ; если то В большинстве случаев правильный ответ может быть дан, исходя из формы сечения и его расположения относительно главных осей.

ПОНЯТИЕ О РАДИУСЕ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ

Момент инерции сечения относительно какой-либо оси на основании известной из курса математического анализа теоремы о среднем можно представить в виде произведения площади всего сечения на квадрат некоторого отрезка, называемого радиусом инерции сечения, например:

где - радиус инерции относительно оси .

На основании приведенного определения радиусы инерции сечения относительно осей x и y могут быть выражены как

(4.29)

Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции:

(4.30)

Например, для прямоугольника, изображенного на рис.4.4, главные радиусы инерции

Размерность радиуса инерции-(ед.длины), например, мм, см, м.

Радиусы инерции сечения являются еще более явственной характеристикой формы сечения, чем моменты инерции, так как в них исключено влияние площади. В практических расчетах обычно применение находят главные радиусы инерции.

МОМЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СЕЧЕНИЯ

Полярным моментом сопротивления сечения называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения:

(4.31)

Осевым моментом сопротивления сечения называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию до наиболее удаленной точки сечения:

(4.32)

Практический интерес представляют моменты сопротивления относительно главных осей, являющихся осями симметрии. Размерность момента сопротивления-(ед. длины)³, например, мм³, см³, м³.

Найдем моменты сопротивления для некоторых фигур.

Прямоугольник

следовательно

, следовательно

Круг

следовательно

.

следовательно

Кольцо

следовательно

следовательно

Полярные моменты сопротивления используются в расчетах на прочность при кручении, осевые – при изгибе. Заметим, что при вычислении моментов сопротивления сложных сечений их нельзя ни складывать, ни вычитать, так как моменты сопротивления не являются интегральными величинами (как статические моменты или моменты инерции); в таких случаях расчет выполняется в соответствии с формулами (4.31) и (4.32).

Лекция 5

СДВИГ

РАСЧЕТ НА СРЕЗ

С деформацией сдвига мы встречаемся, когда из шести внутренних силовых факторов отлична от нуля только поперечная сила Q_y (или Q_x). С достаточной степенью приближения деформация сдвига или среза практически может быть получена в случае, когда на стержень с противоположных сторон на весьма близком расстоянии друг от друга действуют две равные силы, перпендикулярные к его оси и направленные в противоположные стороны. Примером может служить резка ножницами полосы, прутьев и т.п. (рис. 5.1,а,б).

Получим формулу для напряжений в поперечном сечении стержня, представленного на рис. 5.1. Пусть известна внешняя нагрузка F. Используя метод сечений, находим, что на участке bc поперечная сила

Q_y = F.

Опуская в дальнейшем индекс при Q, запишем интегральную связь (1.1) между поперечной силой и напряжениями, действующими в рассмотренном сечении , в следующем виде:

. (5.1)

Принимая касательные напряжения τ равномерно распределёнными по площади поперечного сечения F (рис. 5.2), на основании выражения (5.1) имеем

,

откуда

. (5.2)

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Допущение о равномерности касательных напряжений по сечению весьма условно, однако оно широко используется в инженерной практике при расчёте болтов, шпонок, заклёпочных и сварных соединений и других деталей.

Условие прочности на сдвиг (срез) по методу предельных состояний записывается в виде

, (5.3)

где R_ср – расчётное сопротивление материала на срез, величина которого зависит от свойств материала. Отметим, что для пластичных материалов

.

ПОНЯТИЕ О ЧИСТОМ СДВИГЕ

Выделим из бруса, представленного на рис. 5.2, элементарный параллелепипед (элемент) в окрестности данной точки поперечного сечения (рис. 5.3,а).

Компоненту касательных напряжений, возникающих на боковых гранях элемента (в поперечных сечениях), обозначим τ_zy. Очевидно, что для равновесия элемента на горизонтальных гранях (в продольных сечениях) должны быть указаны компоненты напряжений τ_yz. Найдём соотношение этих напряжений из условия равновесия элемента в виде:

.

Сократив это выражение на произведение dxdydz, получим равенство

, (5.4)

называемое законом парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные общему ребру, равны по величине и направлены в противоположные стороны.

Рис. 5.3

Таким образом, в плоскости на гранях прямоугольного элемента действуют касательные напряжения (см. рис. 5.3,б).

Напряжённое состояние, при котором на гранях выделенного элемента действуют только касательные напряжения, называют чистым сдвигом.

Типичным примером тела, во всех точках которого имеет место чистый сдвиг, является скручиваемая тонкостенная труба, показанная на рис.5.4,а. Прямоугольные до деформации элементы материала стенок трубы превращаются в параллелограммы за счёт изменения первоначально прямого угла на малый угол  (рис.5.4,б).

Рис. 5.4

ЗАКОН ГУКА ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ

Рассмотрим деформацию элемента, ограниченного площадками чистого сдвига. Для наглядности закрепим его по одной из граней (рис. 5.5). Под действием касательных напряжений верхняя грань сдвигается параллельно нижней, превращая прямоугольный элемент в параллелограмм. При этом высота элемента остаётся неизменной, а первоначально прямые углы изменяются на малый угол , называемый углом сдвига или относительным сдвигом.

Рис.5.5 Рис.5.6

Величину смещения грани обозначают ∆ и называют абсолютным сдвигом.

Выражая угол в радианах, и учитывая его малость, можно принять , тогда относительный сдвиг выразится следующим образом

(5.5)

Экспериментальное изучение деформации чистого сдвига обычно проводят путём кручения трубчатых образцов, получая зависимость между напряжением и углом сдвига . Типичный вид диаграммы сдвига для пластичной стали показан на рис.5.6. До предела пропорциональности при сдвиге τ_пц справедлива линейная зависимость

, (5.6)

называемая законом Гука при сдвиге. Здесь G – коэффициент пропорциональности, который называется модулем сдвига материала или модулем упругости II рода. Из выражения (5.6) следует, что модуль G имеет размерность напряжений (Па), так как  - величина безразмерная. Можно показать, что модуль сдвига не является независимой константой материала и может быть определен для изотропного материала через модуль упругости E и коэффициент Пуассона μ с помощью соотношения

. (5.7)

Например, для стали E = 210⁵ МПа, μ = 0,25, откуда следует, что G =0,810⁵ МПа. Зависимость (5.7) подтверждается экспериментально.

Напряжение τ_т является пределом текучести при сдвиге, т.е. касательным напряжением, при котором угол сдвига возрастает при постоянном напряжении. Характерно, что для многих материалов предел текучести при сдвиге τ_т связан с пределом текучести при растяжении σ_т соотношением

.

Запишем выражение для абсолютного сдвига ∆, подставив в формулу закона Гука (5.6) полученные ранее соотношения (5.2) и (5.5):

,

или

,

откуда

, (5.8)

где произведение GA называют жесткостью сечения при сдвиге.

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ СОЕДИНЕНИЙ, РАБОТАЮЩИХ НА СДВИГ

Детали, служащие для соединений отдельных элементов машин и строительных конструкций, - заклёпки, штифты, болты и т.п. – во многих случаях воспринимают нагрузки, перпендикулярные к их продольной оси. Поперечная нагрузка в указанных деталях возникает, в частности, при растяжении (сжатии) соединяемых элементах. Соответствующие примеры приведены на рис. 5.8, где изображены а – штифт, б – заклёпка, в – болт, поставленный без зазора, г – шпонка. Их действительная работа сложна и лишь приближенно может быть охарактеризована как работа на сдвиг (срез). Однако практические расчёты этих соединений очень просты и достаточно надёжны, так как расчётные сопротивления назначаются на основании опытных данных.

Рис. 5.7

Расчеты деталей на срез базируются на следующих основных допущениях:

1. в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор– поперечная сила Q;

2. касательные напряжения распределены равномерно по площади поперечного сечения;

3. в случае, если соединение осуществлено несколькими одинаковыми деталями (заклепками и т. п.), принимается, что все они нагружены одинаково.

Разрушение соединительных элементов (в случае недостаточной прочности) происходит в результате их перерезывания по плоскости, совпадающей с поверхностью соприкосновения соединяемых деталей, как показано на рис.5.8, поэтому говорят, что эти элементы работают на срез, и возникающие в их поперечном сечении касательные напряжения называют напряжениями среза и обозначают τ_ср.

Рис. 5.8

Условие прочности на срез формулируется как

, (5.9)

где Q – поперечная сила; при нескольких одинаковых соединительных деталях ; здесь F – общая нагрузка соединения, п – число заклёпок (болтов и т.п.); R_ср – расчётное сопротивление материала соединительных элементов.

Формула (5.9) используется для проверочного расчёта соединения. В зависимости от постановки задачи она может быть преобразована для определения допускаемой (расчётной) нагрузки или требуемой площади сечения.

Расчёт на срез обеспечивает прочность соединительных элементов, но не гарантирует надёжность соединения в целом. При недостаточной толщине соединяемых элементов возможно нарушение соединения вследствие их смятия по поверхности контакта с соединительными деталями. Давления, возникающие между поверхностями отверстий и соединительных деталей, принято называть напряжениями смятия и обозначать σ_см. Фактическое распределение контактных напряжений весьма сложно. Поэтому расчёт на смятие носит условный характер и ведётся в предположении, что силы взаимодействия между деталями равномерно распределены по поверхности контакта и нормальны к этой поверхности.

Условие прочности на смятие имеет вид

, (5.10)

где - нагрузка на одну соединительную деталь; A_см – расчётная площадь смятия; R_см – расчётное сопротивление на смятие, определяемое экспериментально.

За расчётную площадь смятия при контакте по плоскости (см. рис. 5.7, г) принимают действительную площадь соприкосновения – A_см = tl, где l – размер шпонки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа; при контакте по цилиндрической поверхности (см. рис.5.7,а,б,в) принимают площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость, т.е. A_см = d. При различной толщине соединяемых элементов в расчётную формулу следует подставлять _min.

Для примера рассмотрим некоторые вопросы расчета заклёпочных соединений для случаев, когда соединяемые элементы работают на растяжение и сжатие.

На рис. 5.9,а показана работа одиночной заклёпки, соединяющей три листа и называемой двухсрезной, так как при её разрушении срез происходит по двум сечениям(отмечено волнистой линией) с площадью среза .

Рис. 5.9

Зависимости для проверочных расчётов имеют следующий вид:

а) на срез

, (5.11)

где п – общее число заклёпок, передающих заданную нагрузку F;

k – число плоскостей среза одной заклёпки;

d – диаметр заклёпки;

б) на смятие

, (5.12)

где – наименьшая суммарная толщина листов, сминаемых в одном направлении. Например, на рис.5.9,б это будет меньшая из площадей A_1см = = d и A_2см = 2 d.

Допускаемую силу на одну заклёпку определяют следующим образом:

а) из условия прочности на срез

; (5.13)

б) из условия прочности на смятие

. (5.14)

Из двух сил фактической допускаемой силой для заклёпки Q_зак является меньшая из них.

Расчёт заклёпочного соединения обычно состоит в определении необходимого числа заклёпок п при действии на него заданной нагрузки F. Тогда

. (5.15)

Лекция 6