Теории прочности

Одной из главных задач инженерного расчёта является оценка прочности конструкции по известному напряжённому состоянию. В случае простых видов нагружения опасные напряжения, при которых конструкция переходит в предельное состояние, легко находятся экспериментально. Так, если напряжённое состояние в элементе конструкции является одноосным, переход в предельное состояние происходит тогда, когда нормальное напряжение достигает предела текучести в пластичном материале или предела прочности в хрупком. В случае плоского или объёмного напряжённого состояния ситуация существенно усложняется. Очевидный на первый взгляд путь экспериментального исследования прочности образцов при соответствующем нагружении приходится отклонить. Это объясняется как неоправданным усложнением испытательного оборудования, так и необходимостью проведения бесчисленного множества экспериментов, поскольку для каждой новой комбинации нормальных и касательных напряжений испытания пришлось бы проводить заново. В связи с этим представляется заманчивым найти такой критерий прочности, при достижении которого сложное напряжённое состояние становится предельным. Существуют различные теории о преимущественном влиянии на прочность того или иного фактора, который и принимается в качестве соответствующего критерия прочности. Все они используют понятие равнопрочности, которое можно сформулировать следующим образом: два различных напряжённых состояния считаются равнопрочными (равноопасными), если при пропорциональном увеличении их главных напряжений в одно и то же число раз, они одновременно становятся предельными. Число, на которое умножаются главные напряжения для перехода в предельное состояние, представляет собой ничто иное, как коэффициент запаса прочности.

Предельное значение фактора, определяющего прочность, легко находится на основании стандартных опытов на растяжение и сжатие. Критерий прочности позволяет сопоставить исследуемое сложное напряжённое состояние с простым, например осевым растяжением, и установить эквивалентное (равноопасное) напряжение в растянутом стержне с таким же коэффициентом запаса (рис.17.1).

Приравняв друг другу выражения выбранного по соответствующей теории критерия прочности для этих напряжённых состояний, можно получить зависимость вида

σ_э = f (σ₁, σ₂, σ₃ ) = σ_оп,

которая описывает условие наступления предельного состояния. В качестве опасного напряжения σ_оп для пластичных материалов берётся предел текучести σ_т, для хрупких – предел прочности σ_в.

Рис. 17.1

В соответствии с методом предельных состояний условие прочности при сложном напряжённом состоянии в общем случае можно сформулировать следующим образом

σ_э = f (σ₁, σ₂, σ₃ ) ≤ R . (17.2)

Здесь R – расчётное сопротивление материала.

Различные теории прочности приводят к различным выражениям для эквивалентного напряжения. Наличие нескольких теорий не должно вызывать удивления, поскольку каждый из критериев прочности

( наибольшее нормальное напряжение, наибольшая линейная деформация, потенциальная энергия деформации и т.д.) лишь отчасти отражает весьма сложный процесс наступления предельного состояния и применим только в определённых условиях. Далее мы познакомимся с наиболее простыми, классическими теориями прочности.

1. ТЕОРИЯ НАИБОЛЬШИХ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

(первая теория прочности)

Преимущественное влияние на прочность по этой теории оказывает величина наибольшего нормального напряжения. Считая эквивалентное напряжение равным наибольшему главному напряжению, условие наступления предельного состояния можно записать в виде

σ_э = σ₁ = σ_оп,

где σ_оп – опасное напряжение, принимаемое равным σ_т или σ_в.

Условие прочности по методу предельных состояний примет вид

σ_э = σ₁ ≤ R, (17.3)

где R – расчётное сопротивление материала. Эта теория не получила экспериментального подтверждения, и в настоящее время представляет лишь исторический интерес.

2. ТЕОРИЯ НАИБОЛЬШИХ ЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

(вторая теория прочности)

В качестве критерия прочности по этой теории выступает величина наибольшего линейного удлинения ε₁. Условие наступления предельного состояния имеет вид

,

где ε_оп = σ_оп / Е – предельное значение относительного удлинения, которое находится из опыта на растяжение. Отсюда следует условие для эквивалентного напряжения, обеспечивающее прочность элемента конструкции:

σ_э = σ₁ – μ (σ₂ + σ₃) ≤ R (17.4)

Для плоского напряжённого состояния одно из главных напряжений обратится в нуль, а два оставшихся можно выразить через напряжения на произвольных площадках по формулам (15.6).

Условие прочности при этом записывается следующим образом

(17.5)

Теория наибольших линейных деформаций предполагает, что материал подчиняется закону Гука вплоть до момента разрушения. По этой причине данная теория даёт удовлетворительное совпадение с экспериментом только для очень хрупких материалов, разрушающихся без заметных остаточных деформаций. При этом следует иметь в виду, что условия (17.4) и (17.5) применимы лишь в тех случаях, когда величина σ_э оказывается положительной. Таким образом, вторая теория прочности в отличие от первой, иногда используется и в настоящее время, но лишь для хрупких материалов и в определённых условиях нагружения.

3. ТЕОРИЯ НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

(критерий пластичности Треска – Сен-Венана)

Многочисленные эксперименты говорят о том, что механизм образования пластичных деформаций тесно связан со сдвигами в материале, а те, в свою очередь, зависят от величины касательных напряжений.

Сен-Венаном в качестве критерия перехода материала в пластическое состояние было предложено использовать величину наибольших касательных напряжений τ_max. В случае объёмного напряжённого состояния

.

Появление необратимых деформаций происходит при нарушении условия

τ_max < τ_оп ,

где τ_оп = σ_оп / 2 – находится из опыта на простое растяжение, в качестве опасного напряжения σ_оп принимается предел текучести σ_т . Условие прочности по данной теории можно записать в следующем виде

, (17.6)

где R – расчётное сопротивление материала. Для плоского напряжённого состояния условие (17 6) запишется так

 R (17.7)

К недостатку теории можно отнести лишь то, что для объёмного напряжённого состояния не учитывается влияние на прочность промежуточного главного напряжения σ₂ .

По сложившейся в сопротивлении материалов традиции критерий пластичности Треска – Сен-Венана обычно называют третьей теорией прочности.

4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ (ЧЕТВЁРТАЯ) ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ

(Критерий пластичности Мизеса)

Данная теория основана на предположении, что напряжённые состояния равноопасны в том случае, если у них совпадает величина удельной потенциальной энергии формоизменения. Для общего случая объёмного напряжённого состояния удельная энергия изменения формы вычисляется по формуле (16.10):

Для линейного напряжённого состояния, возникающего в растягиваемом стержне, получим

Приравняв эти выражения, выразим величину σ_э и сформулируем условие прочности по заданной теории:

(17.8)

В случае плоского напряжённого состояния, воспользовавшись (15.6), получим

R (17.9)

Энергетическая теория в принятой в настоящее время формулировке была предложена австрийским математиком и механиком Ричардом фон Мизесом (1883-1953 гг.). Как и третья теория прочности, она по сути устанавливает критерий появления в конструкции необратимых деформаций, причём результаты расчёта по этим теориям довольно близки и хорошо согласуются с экспериментами на образцах из пластичных материалов.

При некоторых частных видах нагружения расчёты по энергетической теории оказываются несколько точнее, чем по третьей теории.