Тогда относительное удлинение

Будем считать, что отдельные волокна элемента деформируются независимо друг от друга, находясь в состоянии простого растяжения – сжатия. Это позволяет воспользоваться законом Гука при растяжении

(8.3)

Отсюда следует весьма важный вывод: напряжения в поперечном сечении меняются по линейному закону и пропорциональны расстоянию от нейтральной линии. Сама нейтральная линия представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих условию σ = 0.

Для того, чтобы воспользоваться выражением (8.3), необходимо знать положение нейтральной линии, от которой отсчитывается координата y, а так же радиус кривизны нейтрального слоя ρ. Воспользуемся известными интегральными зависимостями между внутренними силовыми факторами в сечении стержня и действующими там напряжениями (1.1). Тогда для нормальной силы получим

.

Но поскольку при чистом изгибе N = 0, это означает, что

.

Полученный интеграл представляет собой ничто иное, как статический момент сечения. Поскольку он равен нулю, ось Оx, относительно которой он вычисляется, проходит через центр тяжести сечения. Таким образом, нейтральная ось оказывается центральной осью, а величина ρ – радиусом кривизны оси балки. Величину, обратную радиусу кривизны, называют кривизной оси, для её нахождения снова воспользуемся интегральными соотношениями (1.1) и формулой (8.3)

Полученный интеграл вновь оказывается знакомой нам геометрической характеристикой – моментом инерции относительно центральной оси x. Отсюда определяется кривизна нейтрального слоя:

(8.4)

Произведение E×I_x , стоящее в знаменателе формулы (8.4), называют жёсткостью при изгибе. Подставив последнюю формулу в (8.3), получим выражение для напряжений в следующем виде:

(8.5)

Полученная зависимость отражает закон распределения напряжений по высоте сечения, который проиллюстрирован эпюрой σ на рис. 8.4,б. Отметим, что формула (8.5) имеет алгебраический характер – при вычислении напряжений в интересующей нас точке сечения необходимо учитывать знаки момента М_x и координаты у.

УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ. РАЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМА ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БАЛКИ

Наибольшие по величине напряжения возникают в наиболее удалённых от нейтрального слоя точках сечения (см. рис. 8.4,в):

(8.6)

Для материалов, имеющих одинаковую прочность при растяжении и сжатии, знаки М_x и y_max в этой формуле можно не учитывать. В этом случае у_max будет представлять собой не координату, а расстояние от удалённой точки сечения до нейтральной линии. Тогда условие прочности при чистом изгибе по методу предельных состояний примет вид

, (8.7)

где W_х – осевой момент сопротивления сечения, а R – расчётное сопротивление материала.

Наиболее экономичными являются такие типы поперечных сечений, у которых при наименьших затратах материала достигается наибольшая величина момента сопротивления. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо распределять большую часть площади сечения возможно дальше от нейтральной оси. Стремление расположить материал балки таким образом привело к созданию таких тонкостенных профилей, как двутавр и швеллер. Если оценивать экономичность сечения отношением момента сопротивления к площади сечения W_x/A, то сечение в форме двутавра оказывается примерно в два раза экономичнее прямоугольного сечения тех же пропорций. Отметим, что на практике чрезмерное увеличение высоты сечения может привести к потере устойчивости и короблению балок при изгибе.

Поскольку напряжения при изгибе пропорциональны расстоянию от нейтральной оси, то для материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию (большинства пластичных материалов), целесообразно применять симметричные по высоте профили сечения. Наоборот, для материалов с различными характеристиками прочности при растяжении и сжатии (бетон, дерево, чугун и другие хрупкие материалы), несимметричные относительно нейтральной оси сечения могут оказаться рациональнее симметричных.

В

Рис. 8.5

качестве примера на рис. 8.5 показано распределение напряжений при изгибе балок таврового (т – образного) сечения.

Такая форма часто используется при изготовлении балок из бетона или чугуна, сопротивляющихся сжатию значительно лучше, чем растяжению. В этих случаях необходимо обеспечить выполнение двух условий прочности – отдельно для сжатой и растянутой частей сечения:

,

. (8.8)

Здесь , - расстояния от нейтральной оси до наиболее удалённых точек сечения соответственно в сжатой и растянутой зонах;

R_c, R_p – расчётные сопротивления материала при сжатии и растяжении.

Очевидно, что наиболее рациональным является случай, когда расстояния от центра тяжести сечения (от нейтральной оси) до границ сечения пропорциональны соответствующим характеристикам прочности:

.

Подчеркнём, что рационально подобранное сечение необходимо ещё правильно расположить с учётом характера нагружения балки. Так, если в приведённом примере (рис. 8.5) изгибающий момент будет отрицательным, т.е. вызовет растяжение верхних волокон, то сечение необходимо развернуть на 180°. В противном случае расход материала значительно возрастёт.

Лекция 9