4. Роль мнимой единицы при графическом изображении комплексных
чисел
В системе координат j ( х ) важную роль играет мнимая ( отрицательная ) единица j = .
Поясним сказанное на примере.
Пусть имеется положительное действительное число «К». Отложим это число вдоль положительной полуоси «+х» ( рис. 1 ).
Если это число умножить на мнимую единицу «j», то получится новое, уже мнимое число К' = j К. Это число надо отложить вдоль положительной полуоси «+j», т.е. вверх.
Если мнимое число «j К»
еще раз умножить на мнимую единицу «j»,
то получится очередное новое число К''
= j* j К = j
К
= (
)
*К
= ( - 1 ) К = - К.
Это новое число – отрицательное действительное, которое надо отложить вдоль отрицательной полуоси «- х», т.е. влево.
Третье умножение числа К на j дает отрицательное мнимое число К"' =
= j ( j
К
) = j
К
= j
(
j К ) = ( - 1 )* j
К = - j К. Это число надо
отложить вдоль отрицательной полуоси
«- j», т.е. вниз.
При четвертом таком умножении числа К на j получается число К'''' , равное исходному числу К:
К'''' = ( j ) ( j
)К
= j
=
( j
)*(
j
)К
= ( - 1 )*( - 1 )К = К.
Из сказанного можно сделать 2 вывода:
мнимая единица j представляет собой поворотный множитель, при умножении
на который вектор, выражающий вещественное или мнимое число, поворачивается на 90º против направления движения часовой стрелки, т. е. в положительную сторо-
ну направления вращения векторов;
при умножении на мнимую единицу вещественное число превращается в мни-
мое, а мнимое число – в вещественное.
5. Тригонометрическая форма представления комплексных чисел
Для получения тригонометрической формы представления комплексных чисел используем графическую форму.
Как видно на рис. 2, А = А' + j А".
Подставим в правую часть этого уравнения выражения ( 6 ) и ( 7 ), тогда
А = |А| cosα + j |А| sinα = |А| ( cosα + j sinα ) ( 8 )
Как следует из выражения ( 8 ), в правой его части находятся тригонометри-
ческие функции - cosα и sinα. Этим и объясняется название формы представления комплексного числа.
Таким образом, для тригонометрического представления комплексного числа А = А' + А" надо:
найти модуль вектора |A| по формуле ( 4 );
2. найти аргумент вектора tg α по формуле ( 5);
3. найти угол α из соотношения α = arc tg α;
4. записать комплексное число в тригонометрической форме.
Пример 3. Комплексное число А = 3 + j4 представить в тригонометрической форме.
Решение:
модуль числа А
|A| = = = = 5
аргумент числа
tg α = А" / А' = 4 / 3 = 1, 33
угол α = arc tg α = arc 1,33 = 53º 03' ≈ 53º
комплексное число в тригонометрической форме
А = |А| ( cosα + j sinα ) = 5 ( cos 53º + j sin53º ).
6. Показательная форма представления комплексных чисел
Для представления комплексных чисел в показательной форме используем формулу Эйлера
е
= ( cosα + j
sinα ) ( 9 ),
где: е = 2,73 – основание натуральных логарифмов;
cosα = Re е - действительная часть выражения е ;
sinα = Im е - мнимая часть выражения е .
В этом случае выражение ( 8 ) можно записать так:
А = |А| ( cosα + j sinα ) = |А| е ( 10 ).
Таким образом, для представления комплексного числа в показательной форме надо:
найти модуль вектора |A| по формуле ( 4 );
2. найти аргумент вектора tg α по формуле ( 5);
3. найти угол α из соотношения α = arc tg α;
4. записать комплексное число в показательной форме.
Пример 4. Комплексное число А = 3 + j4 представить в показательной форме.
Решение:
модуль числа А
|A| = = = = 5
аргумент числа
tg α = А" / А' = 4 / 3 = 1, 33
угол α = arc tg α = arc 1,33 = 53º 03' ≈ 53º
комплексное число в показательной форме А = 5 е
.