§ 10.2. Умножение матриц

Определение 10.3. Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что

: . (10.1)

Замечания. 1. Матрицы можно умножать только в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк второго. Такие матрицы называются согласованными. Другими словами, если поставить рядом размеры матриц-сомножителей, то посередине должны получиться одинаковые числа, а если эти одинаковые числа зачеркнуть, то оставшиеся числа как раз и дадут размеры матрицы-произведения ( ).

2. Из формулы (10.1) видно, что для вычисления элемента матрицы-произведения, расположенного в -й строке и -м столбце, следует -ю строку первого сомножителя умножить на -й столбец второго, т.е. каждый элемент строки умножить на соответствующий элемент столбца и результаты сложить.

Пример 10.2. Заданы матрицы:

, и .

Выяснить, какие из произведений , , , , или существуют, и найти эти произведения.

∆ Матрица имеет размеры , матрица – размеры . Если поставить рядом размеры матриц и , получим – центральные числа не совпадают, значит, произведение не определено. Если же поменять порядок, получим – центральные числа совпадают, произведение существует. Обозначим . На основании замечания 1 матрица имеет размеры . Приведем подробное вычисление некоторых ее элементов.

Элемент расположен в первой строке и первом столбце. На основании замечания 2 для его вычисления первую строку матрицы (первого сомножителя) умножаем на первый столбец матрицы (второго сомножителя): .

Элемент расположен во второй строке и первом столбце. Для его вычисления вторую строку матрицы умножаем на первый столбец матрицы : .

Элемент расположен во второй строке и третьем столбце. Для его вычисления вторую строку матрицы умножаем на третий столбец матрицы : .

Аналогично вычисляются оставшиеся элементы матрицы-произведения, и в результате мы получаем .

Из остальных произведений существуют и , их также вычислим:

;

.

Конечно, по приобретении опыта матрицы надо перемножать устно, а не расписывать вычисления так подробно. ▲

Пример 10.3. Найти произведения и , если

.

∆ ;

▲

Из приведенных примеров видим: в том случае, когда оба произведения и существуют, они могут быть как одинаковыми, так и разными. Они даже могут иметь разные размеры. Поэтому говорят, что произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно. Если же произведения и совпадают, то матрицы и называются перестановочными или коммутирующими. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. Второй пример также показывает, что произведение матриц не обладает еще одним известным свойством произведения чисел: если произведение равно 0, то один из сомножителей равен 0. В приведенном примере произведение ненулевых матриц является матрицей нулевой. Поэтому в матричных равенствах ни в коем случае нельзя сокращать на матрицу.

Пример 10.4. Найти произведения и , если

.

∆ На основании определения произведения матриц получаем:

.

Так как в полученной матрице аргументы и равноправны, то, очевидно, = . Кроме того, из результата видим, что при умножении матриц такого вида аргументы и просто складываются. ▲

Пример 10.5. Заданы матрицы

, , .

Вычислить произведения а) , б) и .

Найти также все матрицы , перестановочные с матрицей .

∆ а) .

Заметим, что при таком умножении каждый столбец матрицы умножается на диагональный элемент матрицы , имеющий тот же номер. В частности, при умножении диагональных матриц просто перемножаются их соответствующие диагональные элементы.

б) ;

.

При умножении матрицы на справа каждый столбец матрицы передвигается на одну позицию вправо, последний уничтожается, а первый заменяется нулевым столбцом. При умножении матрицы на слева каждая строка матрицы передвигается на одну позицию вверх, первая уничтожается, а последняя заменяется нулевой строкой.

Сравнивая матрицы и , делаем вывод, что они совпадают в том и только в том случае, когда , , . Итак, все матрицы, перестановочные с матрицей , имеют вид

.

В частности, этому условию удовлетворяют все диагональные матрицы. ▲

Пример 10.6. Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов. След матрицы обозначается . Доказать, что для произвольных перестановочных матриц и .

∆Так как матрицы и перестановочны, то они квадратные и имеют одинаковый порядок. Пусть – общий порядок матриц и , , , ; . Тогда:

, ,

.

Сделаем замену индекса во втором слагаемом, т.е и , а также воспользуемся тем фактом, что в двойном суммировании порядок суммирования можно менять. Получаем:

,

что и требовалось доказать. ▲