Глава 10. Матрицы и определители § 10.1. Матрицы и линейные операции над ними

Основные определения. Матрицей размеров называется таблица, имеющая строк и столбцов и состоящая из действительных или комплексных чисел.

Матрицу сокращенно обозначают одной большой буквой латинского алфавита, например . Если нужно указать размеры матрицы, то их можно записать в качестве индекса: . Элементы матрицы, как правило, обозначаются той же буквой латинского алфавита, что и сама матрица, но малой, и снабжаются двумя нижними индексами, первый из которых обозначает номер строки, а второй – номер столбца. Так, обозначает элемент матрицы , расположенный в -й строке -м столбце. Но запись (т. е. в круглых скобках) – это сокращенная запись всей матрицы. Вертикальный ряд в матрице называется ее столбцом, а горизонтальный – строкой.

В развернутом виде матрица записывается, согласно определению, как числовая таблица, при этом с обеих сторон она ограничивается либо круглыми скобками, либо квадратными, либо двумя вертикальными чертами, например:

.

Матрица называется нулевой и обозначается , если все ее элементы равны нулю. Если , то матрица называется квадратной, а число называется ее порядком. Элементы , квадратной матрицы образуют ее главную диагональ и называются диагональными. Элементы образуют побочную диагональ матрицы.

Квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Следует отметить, что в диагональной матрице некоторые диагональные элементы также могут равняться нулю.

Среди диагональных матриц выделяют матрицу , все диагональные элементы которой равны 1, и называют эту матрицу единичной:

.

Если обозначить элементы единичной матрицы , то

.

Символ , снабжённый двумя индексами, верхними или нижними ( ), равный 1, когда индексы совпадают, и 0, когда они разные, широко применяется как в математике, так и в физике, и называется символом Кронекера. Таким образом, элементы единичной матрицы совпадают с соответствующими символами Кронекера.

Квадратная матрица называется верхней треугольной, если при , нижней треугольной, если при . Неквадратная матрица при называется трапециевидной, если при .

Матрицы, у которых совпадают размеры и соответствующие элементы равны, называются равными.

Сложение матриц

Определение 10.1. Суммой двух матриц одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых. Другими словами, если , , то .

Свойства сложения матриц.

1. (коммутативность).

2. (ассоциативность).

3. (существование нейтрального элемента).

4. (существование противоположного элемента).

Во множестве матриц одинаковых размеров задаётся и операция вычитания как операция, обратная сложению. Поэтому вычитание матриц сводится к вычитанию их соответствующих элементов.

Умножение матрицы на число

Определение 10.2. Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, что и , все элементы которой получены из соответствующих элементов матрицы умножением на число .

Другими словами, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на то же число.

Свойства операции умножения матрицы на число.

1. ; 5. ;

2. ; 6. ;

3. ; 7. ;

4. ; 8. .

Здесь и – произвольные матрицы одних и тех же размеров, и – произвольные числа.

Из свойств операций сложения и умножения на число вытекает, что линейные операции над матрицами можно проводить по тем же правилам, что и над многочленами или векторами.

Линейной комбинацией матриц с коэффициентами , , будем называть матрицу .

Пример 10.1. Заданы матрицы

, , , .

Из перечисленных операций выполнить те, которые определены:

а) , б) , в) , г) .

∆ а) Матрицы и имеют одинаковые размеры, поэтому сложение возможно. На основании определения 10.1 складываем соответствующие элементы:

.

б) Матрицы и имеют разные размеры, сложение невозможно.

в) Размеры матриц совпадают, вычитание возможно:

.

г) Размеры матриц , и совпадают, все операции определены:

=

.▲