- •Лабораторная работа №3 Стратегические игры
- •Классификации стратегических игр
- •Матричная игра двух лиц с нулевой суммой
- •Доминирование стратегий
- •Игры в смешанных стратегиях
- •Сведение игры двух лиц с нулевой суммой к задаче линейного программирования
- •Матричная игра двух лиц с ненулевой постоянной суммой
Матричная игра двух лиц с ненулевой постоянной суммой
Конечная игра, в которой сумма выигрышей обоих игроков не равна нулю и постоянна для всех сочетаний их чистых стратегий, называется матричной игрой двух лиц с ненулевой постоянной суммой.
Пусть — матрица выигрышей игрока 1 и — матрица выигрышей игрока 2. Причем для всех i=1,…, m и j=1,…, n
Такого рода игра сводится к игре двух лиц с нулевой суммой следующим образом:
каждому игроку выплачивается сумма c/2
решается игра с нулевой суммой с матрицей выигрышей игрока1, где .
Действительно, в игре с преобразованной таким образом матрицей выигрыша игрок 2 получает сумму для всех i=1,…, m и j=1,…, n, т.е. новая игра является игрой с нулевой суммой. При этом каждый игрок ничего не теряет, так как каждый игрок получает на c/2 меньше, поскольку по c/2— они получили перед игрой.
Задача1 . Как завоевать рынок? Два конкурирующих друг с другом предприятия, выпускающие стиральные машины, имеют следующие доли общего сбыта своей продукции на местном рынке: предприятие 1 — 53% и предприятие 2 — 47%. Оба предприятия пытаются увеличить объем своих продаж. Для этого у них есть следующие альтернативы: а1 (b1) — расширить сеть сбыта; a2 (b2) — реклама; а3 (b3) — увеличить ассортимент (число моделей стиральных машин); a4 (b4) — ничего не предпринимать. Анализ показал, что изменения доли (в %) предприятия 1 на рынке стиральных машин в случае осуществления обоими предприятиями указанных мероприятий, могут быть следующими:
Стратегии предприятия1 |
Стратегии предприятия2 |
|||
b1 |
b2 |
bЗ |
b4 |
|
a1 |
-4 |
-5 |
-1 |
6 |
a2 |
-1 |
0 |
-3 |
5 |
a3 |
-3 |
1 |
-5 |
5 |
a4 |
-8 |
-7 |
-6 |
0 |
Сформулируйте данную ситуацию в виде игры и ответьте на вопросы:
1. Какое мероприятие предприятия 1 наиболее эффективно? 2. Как изменится доля предприятия 1 на рынке? 3. Какое мероприятие предприятия 2 наиболее эффективно? 4. С какой частотой следует предприятию 2 использовать стратегию «реклама»?
РЕШЕНИЕ 1) Приведенную выше таблицу можно рассматривать как платежную матрицу игры двух лиц с нулевой суммой. Альтернативы, имеющиеся в распоряжении предприятий, — стратегии игроков. Прежде всего, следует исключить доминируемые стратегии игроков: а4 игрока 1 и b4 игрока 2.
Стратегпп игрока 1 |
Стратегии игрока 2 |
||
b1 |
b2 |
b3 |
|
а1 |
-4 |
-5 |
-1 |
а2 |
-1 |
0 |
-3 |
а3 |
-3 |
1 |
-5 |
2) Увеличив все элементы матрицы на 6, решим следующую задачу линейного программирования:
х1 + х2 + х3 → min; 2х1 + 5х2 + 3х3 1; х1 + 6х2 + 7х3 1; 5х1 + 3х2 + х3 1; хl 0, l=1,2,3.
3) Примените симплекс метод для решения данной оптимизационной задачи.
4) Определите цену игры с учетом того, что все элементы платежной матрицы увеличены на 6.
5) Переходя к переменным исходной задачи определите для каждого предприятия частоту применения имеющихся стратегий при многократном повторении стратегий.
Задача 2
Известный актер обдумывает, где бы ему провести в текущем году отпуск. Он рассматривает 6 возможных вариантов: Монте-Карло (МК), Гавайские острова (Г), Багамские острова (Б), Канарские острова (К), Сочи (С), озеро Байкал (ОБ).
Единственный критерий для выбора места отдыха — это стремление избежать журналистов, которые могут испортить ему отдых. Если они его «выследят», отдых будет испорчен (полезность равна 0). В противном случае, все будет, как запланировано (полезность равна 1).
Вследствие различных географических условий, актера можно обнаружить на территории, где находятся и актер и журналисты, с определенной (известной) вероятностью:
в Монте-Карло с вероятностью 0,34; на Гавайских островах с вероятностью 0,12;
на Багамских островах с вероятностью 0,16; на Канарских островах с вероятностью 0,4;
в Сочи с вероятностью 0,5; на озере Байкал с вероятностью 0,2. Опишите данную ситуацию, как игру двух лиц с нулевой суммой (актер — это игрок 1). Вычислите цену игры и определите минимаксные стратегии обоих игроков.
Ответьте на вопросы: 1. Чему равна максимальная ожидаемая полезность отпуска актера? 2. С какой вероятностью актер поедет в отпуск на Байкал? 3. Чему равна верхняя цена игры? 4. В каком из мест наиболее вероятно будет отдыхать актер?