3.3. Двойной интеграл в полярных координатах

Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты (r, ). Они связаны с прямоугольными координатами формулами x=rcos, y=rsin, (r0, 0<2).dxdy=rdrd - элемент площади в полярных координатах. При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам

К полярным координатам удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга.

Формула площади в полярных координатах имеет вид

.

_________________________

1. Вычислить площадь, ограниченную линиями r=a(1-cos) и r=a и расположенную вне круга.

2. Вычислить площадь, ограниченную линиями r=a(1-cos) и r=a и расположенную вне кардиоиды.

3. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

а) x+y+z=3a, x²+y²=a², z=0;

б) x²+y²+z²=4a², x²+y²=a² (вне цилиндра);

в) az=x²+y² , 2az=a²-x²-y².

________________________

Ответы: 1. . 2. . 3. а) 3а³, б) , в) .

Глава 4. Криволинейные интегралы

4.1. Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)

Пусть в каждой точке гладкой кривой L=АВ в плоскости Оху задана непрерывная функция двух переменных f(x,y). Произвольно разобьем кривую L на n частей точками А=М₀, М₁, М₂,…, М_n=B, затем на каждой из полученных частей M_i-1M_i выберем любую точку и составим сумму

,

где =M_i-1M_i – длина дуги M_i-1M_i. Полученная сумма называется интегральной суммой первого рода для функции f(x,y), заданной на кривой L. Обозначим через d наибольшую из длин дуг M_i-1M_i. Если при d0 существует предел интегральных сумм S_n (не зависящий от способа разбиения кривой на части и выбора точек ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x,y) по кривой L и обозначается

.

Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами определенного интеграла (аддитивность, линейность, оценка модуля, теорема о среднем). Однако есть отличия:

,

т.е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления.

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:

1. Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией y=y(x), x[a,b], то , при этом выражение называется дифференциа-лом длины дуги.

2. Если кривая L задана параметрически, т.е. в виде х=x(t), y=y(t), где x(t), y(t) – непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке[;], то

.

3. Если кривая L задана полярным уравнением r=r(), [;],то

.

Приложение криволинейного интеграла 1-го рода

1. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине в кривой L, т.е. .

2. Если L=АВ – материальная кривая с плотностью =(х,у), то масса этой кривой вычисляется по формуле .

3. Статические моменты материальной кривой L относительно координатных осей Ох и Оу соответственно равны где =(х,у) – плотность кривой.

4. Координаты центра тяжести (центра масс) кривой L .

5. Интегралы

выражают моменты инерции кривой L с линейной плотностью =(х,у) относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно.

_____________________

1. Найти массу дуги параболы у²=2х, заключенной между точками А(2;2) и В(8;4), если плотность кривой в каждой точке =(х,у)= .

2. Вычислить массу и координаты центра тяжести однородной дуги циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost), 0t2.

3. Вычислить криволинейный интеграл , где l – окружность х²+у²=ах (а>0).

4. Вычислить криволинейный интеграл , где L – отрезок прямой, соединяющей точки (0;-2) и (4;0).

5. Найти массу дуги АВ кривой y=lnx, если в каждой ее точке линейная плотность равна квадрату абсциссы точки, причем А(1;0); В(3;ln3).

_______________________

Ответы: 1. . 2. m=8a, . 3. 2а² (Указание: ввести полярные координаты x=rcos, y=rsin. Тогда уравнение окружности примет вид r=acos, ). 4. . 5. .