Глава 3. Кратные интегралы
3.1. Двойной интеграл
Двойным интегралом от непрерывной функции f(x,у) по ограниченной области (Д) плоскости хОу называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы:
,
где хi=xi+1-xi; yk=yk+1-yk и сумма распространена на те значения i и k, для которых точки (xi;yk) принадлежат области (Д).
Предположим, что область Д можно задать в виде системы неравенств:
a
xb
y1(x)yy2(x).
Геометрически это
означает, что каждая вертикальная прямая
х=х0
(ax0b)
пересекает границу области Д только в
двух точках М1
и М2
(рис.6), которые называются соответственно
точкой входа и точкой выхода. Тогда
Если же область Д (рис.7) можно задать в виде системы неравенств:
,
то
.
Интегралы, стоящие в правых частях приведенных неравенств, называются повторными (или двукратными). Они отличаются друг от друга порядком интегрирования. Интеграл, содержащий функцию f(x,y), называется внутренним, другой – внешним. При вычислении повторных интегралов следует брать сначала внутренний интеграл, при этом переменная внешнего интеграла принимается постоянной. Затем вычисляется внешний интеграл (таким образом, интегрирование в повторном интеграле идет справа налево). Каждый из них вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница, как определенный интеграл.
Области, не предусматриваемые в описанном виде, следует разбить на конечное число таких областей при помощи прямых, параллельных координатным осям. При вычислении двойных интегралов по таким областям следует применить свойство адуитивности.
______________________________
Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
2. Вычислить повторный интеграл:
а)
;
б)
.
3. Вычислить двойной интеграл по области Д:
а)
,
где Д ограничена линиями х=2,
у=х,
у=1/х.
б)
,
где Д ограничена линиями у=0,
у=х,
у+х=2.
________________________
Ответы: 1. а)
;
б)
;
в)
+
;
г)
+
;
д)
.
2. а) 16; б)
.
3. а) 2,25; б) 5/12.
3.2. Применение двойного интеграла
Двойные интегралы используются при решении многих геометрических и физических задач: вычислении площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, координат центра тяжести, момента инерции и т.д.
Если Д – ограниченная область плоскости 0ху, то ее площадь S вычисляется по формуле
.Пусть z=f(x,y) – неотрицательная непрерывная функция в замкнутой области Д. Если V – тело, ограниченное сверху поверхностью z=f(x,y), снизу – областью Д, а сбоку – соответствующей цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси Оz и направляющей, совпадающей с границей области Д, то объем этого тела равен
.Пусть V – тело, ограниченное сверху поверхностью z=f(x,y), снизу поверхностью z=g(x,y), причем проекцией обеих поверхностей на плоскость Оху служит область Д, в которой функции f(x,y)иg(x,y) непрерывны (и f(x,y)g(x,y)), то объем этого тела равен
.Предположим, что плоская пластина Д имеет поверхностную плотность распределения масс (х,у), непрерывную в Д. Тогда масса этой пластины вычисляется по формуле
.Моменты инерции Ix, Iy и Io плоской материальной пластины Д с поверхностной плотностью (х,у) относительно координат осей Ох, Оу и начала координат О(0;0) соответственно вычисляются по формулам
В случае однородной пластины (=1) эти формулы принимают более простой вид:
Координаты центра тяжести материальной пластины Д с плотностью (х,у) вычисляются по формулам
;
,
где
- статические моменты пластины Д
относительно осей Ох
и Оу
соответственно, а m
– ее масса. В случае однородной пластины
соответственно имеем:
_____________________
1. Записать с помощью двойных интегралов и вычислить площади, ограниченные линиями:
а) ху=4, у=х, х=4;
б) у=х2, 4у=х2, у=4;
в) у=х2, 4у=х2, х=2;
г) y=lnx, x-y=1, y=-1.
д) у2=4+х, х+3у=0.
2. Определить центр масс площади, ограниченной линиями у=х2, х=4, у=0.
3. Определить моменты инерции треугольника АВС с вершинами А(0;1); В(1;2); С(2;1) относительно координатных осей и начала координат.
4. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
а) z=x2+y2, x+y=4, x=0, y=0, z=0.
б)z=a-x, y2=ax, z=0.
_____________________
Ответы: 1. а)
6-4ln23,28;
б) 32/3; в) 4; г)
;
д)
.
2. (3;4;8); 3.
4. а)
; б) 3а3.