2.3.2. Вычисление площадей фигур

а ) площади

криволинейных трапеций, ограниченные кривыми, заданные явными уравнениями в декартовой системе координат (рис.2).

б) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной своими параметрическими уравнениями:

определяется как .

в ) Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в полярной системе координат как r=r() и лучами =, = (рис.3), находится .

_______________

Найти площади фигур, ограниченных линиями:

1. 4у=8х-х², 4у=х+6; 2. у=4-х², у=х²-2х; 3. ху=4, х=1, х=4, у=0;

4. y=lnx, x=e, y=0; 5. x=acost, y=bsint ; 6. x=a(t-sint), y=a(1-cost), осьюОХ, t[0;2]; 7. r=a(1-cos); 8. r²=a²cos2. 9. r=asin3;

10. ; r=2asin. 11. =4sin²; 12. x=acos³t; y=asin³t.

Ответы:

1. ; 2. 9; 3. 8ln2; 4. 1; 5. ab; 6. 3a²; 7. 3a²/2; 8. а²; 9. a²/4;

10. . 11. 6. 12. 3/8.

2.3.3. Вычисление длины дуги плоской кривой

1. Дуга задана уравнением y=f(x), x[a,b]. Длина дуги определяется как .

2. Дуга задана уравнением в параметрической форме . Тогда .

3. Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярной системе координат как r=r(), [,], определяется: .

____________________

1. Вычислить длину дуги полукубической параболы у²=(х-1)³ между точкамиА(2;-1) и В(5;-8).

2. Найти длину дуги кривой у²=х³, отсеченной прямой х=4/3.

3. Найти длину одной арки циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost).

4. Найтидлинуастроидыx=acos³t, y=asin³t.

5. Найти длину кардиоиды r=a(1+cos).

6. Найти длину всей кривой .

Ответы:

1. 7,63; 2. 112/27; 3. 8а; 4. 6а; 5. 8а; 6. 1,5а.

2.3.4. Вычисление объема тел вращения

Пусть вокруг оси ОХ вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линиейy=f(x)0 при условии, что х[a,b] и осью ОХ (рис.4).Объем полученного тела вращения может быть найден как .

При вращении криволинейной трапеции вокруг оси OY (рис.5) объем .

_____________

1. В ычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y²=2px, x=a вокруг оси ОХ.

2. Тело образовано вращением фигуры, ограниченной линиями 2у=х² и 2х+2у-3=0 вокруг оси ОХ. Найти объем тела вращения.

3. Вокруг оси ОХ вращается фигура, ограниченная астроидой x=acos³t, y=asin³t. Найти его объем.

4. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси OY.

Ответы:

1. ра²; 2. ; 3. ; 4. 8.

2.4. Несобственные интегралы

Определенный интеграл предполагает, что пределы интегрирования конечны, а подынтегральная функция f(x)непрерывна на отрезке [a,b]. Интегралы, для которых эти условия не выполнены, называются несобственными интегралами.

Пусть функция f(x)непрерывна на промежутке [a;). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода, при этом говорят, что несобственный интеграл сходится, если предел не существует или бесконечен, то интеграл расходится.

В общем случае , где с – произвольное число.

Для ответа на вопрос, сходится или расходится данный интеграл, можно сформулировать следующие признаки:

1. Если на промежутке [a;) непрерывные функции f(x) и (х) удовлетворяют условию 0f(x)(x), то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

2. Если существует предел

(х)>0, то интегралы и ведут себя одинаково, т.е. оба сходятся или оба расходятся.

_________________

Найти несобственные интегралы и сделать вывод об их сходимости:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. .

Ответы:

1) 1; 2) 1; 3) , расходится; 4) ln2; 5) .