1.5. Метод интегрирования по частям
Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции, тогда d(uv)=udv+vduи
или
.
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.
Выделим три типа интегралов, для которых метод интегрирования по частям наиболее эффективен
I.
где Pn(x)
– многочлен n-й
степени. За функцию u
принимается многочлен Pn(x),
dv
– все остальные сомножители. Формула
интегрирования по частям применяется
последовательно n
раз.
II.
Pn(x)dx=dv,
за u
принимаются осталь-ные сомножители.
III.
гдеa,
b
– действительные числа.
За u(x) можно принимать любую из двух функций. Формулу интегрирования по частям нужно применить дважды. Каждый раз за функцию u(x) принимается одинаковая по типу функция.
_________________
Найти интегралы:
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ответы:
1.
–xcosx+sinx+C;
2.
;
3.
(x2-2x+2)ex+C ;
4.
;
5.
;
6. x2sinx+2xcosx-2sinx+C ;
7. xlnx-x+C ;
8.
;
9. xarcsinx+
;
10.
;
11. xtgx+ln|cosx|+C ;
12.
;
13.
0,5lx(sinx+cosx)+C ;
14.
.
1.6. Интегрирование рациональных функций
Дробно-рациональной
функцией (рациональной дробью) называется
функция, равная отношению двух многочленов:
,
где Pn(x),
Qm(x)
– многочлены степени n
и m
соответственно.
Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя.
Из неправильной дроби всегда можно выделить целую часть, интегрирование которой трудностей не составляет.
Любую правильную
рациональную дробь
,
знаменатель которой разложен на множители
как
можно представить в виде суммы простейших дробей следующим образом:
_____________
Найти интегралы:
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14. . |
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.Ответы:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;8.x+3ln(x2-6x+10)+8arctg(x-3)+C;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
.
1.7. Интегрирование тригонометрических функций
Функция с переменными sinx и cosx, над которыми выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления, называется рациональной функцией и обозначается как R(sinx, cosx).
В процессе интегрирования различных тригонометрических выражений часто используются известные тригонометрические формулы:
.
(1)
.
(2)
.
(3)
Можно выделить несколько типов интегралов от тригонометрических функций:
1.
.
Он находится с помощью универсальной
тригонометрической подстановки:
.
2. Если подынтегральная функция R(sin x, cos x) нечетна относительно sin x, то можно cos x принять за t; если она нечетна относительно cos x, то за t принимается sin x.
3. Если подынтегральная
функция четна относительно sin x
и cos x,
то за переменную t
принимается tgx,
т.е. tgx=t;
x=arctgt,
;
sin2x=
.
4.
находятся после понижения степени
подынтегральной функции.
5.
вычисляются
после применения к подынтегральным
функциям формул (3).
____________________
Найти интегралы:
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.Ответы:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
или
;
15.
;
16.
.