Глава 4. Криволинейные интегралы………………………………29
Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)………29
Криволинейный интеграл II рода (по координатам)….31
Список рекомендуемой литературы…………………………………...36
Глава 1. Неопределенный интеграл
1.1. Понятие неопределенного интеграла
Функция F(x)называется первообразной функции f(x) на интервале (a,b), если для любого х(a,b) выполняется равенство
F'(x)=f(x)или иначе dF(x)=f(x)dx.
Если F(x) является первообразной функции f(x) на (a,b), то множество всех первообразных для f(x) можно задать как F(x)+C, гдеС – произвольная постоянная. Это множество называется неопределенным интегралом и обозначается как
.
1.2. Основные свойства неопределенного интеграла
1.
;
2.
;
3.
постоянная;
4.
;
5. Если
,
то и
,
где u=(u)
– произвольная функция, имеющая
непрерывную производную.
1.3. Таблица основных неопределенных интегралов
1.
;
1'.
;
1".
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7*).
;
8*).
;
9.
;
10.
;
11*).
;
12*).
;
13*).
;
13'.
;
14*).
;
15*).
;
15'.
;
16*).
.
_____________
*) - интегралы табличными не являются.
1.4. Непосредственное интегрирование
и интегрирование заменой переменной
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла, приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
Достаточно часто интегралы, не являющиеся табличными, могут быть приведены ктабличным путем введения новой переменной интегрирования, т.е. подстановки, однако общих методов подбора подстановок не существует.
Пусть требуется
вычислить интеграл
.
Сделаем подстановку х=(t),
где (t)
– функция, имеющая непрерывную
производную. Тогда dх='(t)dt
и
.
Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
_________________
Найти неопределенные интегралы:
1. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
2.
|
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
._________________
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
17.
|
18.
|
19.
|
20.
|
21.
|
22.
|
23.
|
24.
|
25.
|
26.
|
27.
|
28.
|
29.
|
30.
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
31.
;
32.
;
33.
;
34.
;
35.
.
Ответы:
1. а)
;
б) х-х2+С;
в) х3-х2+С;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6. –ctgx-x+C.
7.
;
8. tgx-ctgx+C;
9.
;
10. 2arctgx-3arcsinx+C;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19. ln|3x2-7x+1|+C; 20. ln|e2+1|+C; 21. ln|1+cosx|+C; 22. ln|sinx|+C;
23.
;
24.
;
25.
;
26.
ln|arcsinx|+C;
27.
;
28.
;
29.
;
30.
;
31.
;
32. 2sinx+C;
33.
;
34.
;
35.