Интеграл типа Коши

Выражение ,

где  - аналитическая функция на замкнутой области , ограниченной положительно ориентированным контуром , называется интегралом Коши.

Если  лежит внутри , то интеграл равен , если же  лежит вне ,то  - аналитическая функция на  и, следовательно, интеграл Коши равен нулю.

Пусть теперь  - любая кусочно-гладкая ориентированная кривая, не обязательно замкнутая, и  - непрерывная функция, определенная вдоль . Выражение

                                 (1)

называется интегралом типа Коши. Оно представляет собой функцию , определенную вне .

Теорема 1. Интеграл (1) типа Коши есть аналитическая функция  для всех .

Производная порядка  от  вычисляется по формуле

                (2)

Доказательство. Пусть  есть произвольный круг, не имеющий общих точек с кривой . Функция двух комплексных переменных  и

непрерывна на множестве  и имеет на нем непрерывную частную производную

(надо учесть, что так как круг  не пересекается с , то при любых  и  разность ). Это показывает, что дифференцирование  по параметру  законно произвести под знаком интеграла в (1):

.

При этом производная  непрерывна вне  (см. § 2.4, теорема 4, которая легко обобщается на случай интеграла от комплексного переменного). Но тогда  аналитична вне .

Мы доказали формулу (2) в случае . Для рассуждения ведутся по индукции.

Следствие. Если функция  аналитическая в области , т. е. имеет непрерывную первую производную на , то она имеет производные всех порядков.

Доказательство. Пусть  - любая точка  и  - круг с центром в , целиком лежащий в области , а  - окружность - граница , ориентированная против часовой стрелки. Тогда по формуле Коши

т. е. функция  изображается интегралом типа Коши при  и . Значит, в силу теоремы 1  бесконечно дифференцируема и

.                (3)

Интеграл типа Коши определяет ф-цию, аналитическую вне контура (если замкнут, то фактически он определяет две аналитич. ф-ции - вне и внутри него). В случае, когда - гладкая ф-ция, предельное значение интеграла типа Коши в точке z₀ на контуре , взятой слева от него (по отношению к направлению интегрирования), равно

где Р - символ гл. значения интеграла. Предельное значение справа в той же точке равно -

Разность этих граничных значений равна значению ф-ции в точке z₀.

Для того, чтобы предельные значения интеграла типа Коши, взятые со стороны области, ограниченной замкнутым контуром , совпадали с ф-цией , т. е. для того, чтобы интеграл типа Коши был К. и., необходимо и достаточно выполнение условий для любого

п=0, 1, ... К. и. и интегралы типа Коши используют, напр., в дисперсионных методах квантовой теории поля, оптики и др.