Розподіл Больцмана.
Значна роль у розвитку МКТ газів, термодинаміки і основних ідей статистичної механіки (як тоді називали СФ) належить Людвігу Больцману (1844-1906). Зокрема, він узагальнив розподіл Максвела на той випадок, коли на газ діють зовнішні сили та коли газ є багатоатомним.
За
відсутності зовнішніх сил середня
концентрація молекул газу
в стані рівноваги всюди в посудині
однакова. Але цього не буде за наявності
силових полів. Розглянемо, наприклад,
ідеальний газ в однорідному полі тяжіння.
В стані теплової рівноваги температура
Т
повинна бути однакова по всій товщині
газу. Інакше в газі виникли б потоки
тепла, спрямовані в сторону зменшення
температури, і стан газу не був би
рівноважним. Для механічної рівноваги
додатково необхідно щоб концентрація
молекул зменшувалась із збільшенням
висоти.
Знайдемо закон зміни концентрації молекул ідеального газу з висотою у вертикальному полі тяжіння за умови, що має місце теплова і механічна рівновага.
z s - площа
z+dz p+dp dz z p
|
повинна зрівноважуватись різницею
тисків на висоті
і
:
-
умова механічної рівноваги.
Знак “-” тому, що і мають різні знаки.
Підставляючи
сюди
і зважаючи на те, що температура Т
однакова на всіх висотах, одержимо
або
Заважимо,
що припущення про однорідність поля
тяжіння, використане при виведенні,
несуттєве. Аналогічне співвідношення
можна одержати і для неоднорідного
поля. В цьому випадку умову механічної
рівноваги необхідно записувати для
малого об’єму, в якому поле
може вважати однорідним. умову рівноваги
в цьому випадку зручніше записувати у
векторній формі:
Фізична природа силового поля також не має значення. Воно не обов’язково повинно бути гравітаційним, а може бути електричним або іще яким-небудь. Важливо лише тільки щоб поле було стаціонарним і консервативним (потенціальним).
Якщо
-
потенціальна енергія молекули в силовому
полі, то
,
а тому
В цьому записі умови механічної рівноваги уже не залишилось ніяких ознак однорідності і фізичної природи силового поля. Інтегруючи, одержуємо
Це важливе співвідношення називається законом розподілу Больцмана, або просто розподілом Больцмана.
Для однорідного поля тяжіння, наприклад, поля Землі поблизу її поверхні, маємо:
де
- концентрація на висоті
Якщо від концентрації
перейти до тиску газу
,
остання формула перетвориться в
або
,
де
- молярна вага газу,
-
універсальна газова стала. (
).
Остання формула називається барометричною.
Розглянуте виведення розподілу Больцмана є чисто гідростатичним – в ньому ми по суті не враховуємо молекулярної будови газу, розглядаючи його як суцільне середовище. Гідростатичний спосіб має ряд недоліків. Можна дати молекулярно – кінетичне виведення розподілу Больцмана або статистичне, що ми розглянемо пізніше.