2. Розподіл Максвела – приклад статистичного розподілу.

Перший крок у розробці загальних методів обчислення статистичних середніх зробив у 1959 році Джемс Максвел, ввівши до фізики поняття імовірності.

Максвел поставив таке завдання: визначити середнє число частинок, швидкості яких лежать в заданих межах, після великого числа зіткнень між великою кількістю частинок. Він розв’язав цю задачу, але головною його заслугою була постановка нової проблеми.

Розглянемо задачу Максвела для ідеального газу, що знаходиться в стані термодинамічної рівноваги. Припустимо, що молекули рівномірно розподілені в просторі (в посудині, де вони знаходяться) а їх швидкості рівномірно розподілені за всіма напрямками (припущення про молекулярний хаос).

Встановлення молекулярного хаосу зумовлено взаємодією між молекулами.

Зважаючи на рівномірний розподіл молекул у просторі, надалі розглядатимемо лише тривимірний “простір швидкостей”, у якому кожна точка відповідає молекулі з строго заданою швидкістю о має компоненти

v_x; v_y; v_z.

Введемо поняття про імовірність того, що v_x - компонент швидкості знаходиться в інтервалі [v_x, v_x+dv_x] і представимо її так

,

де - густина імовірності для v_x. В силу ізотропності простору швидкостей функції густини імовірностей (функціональні залежності) для v_y і v_z будуть такі ж.

Імовірність того, що кінець радіуса-вектора компонентами якого є v_x; v_y; v_z, знаходиться в елементарному паралелепіпеді з сторонами dv_x; dv_y; dv_z в околі точки з координатами (v_x; v_y; v_z) можна представити так

,

(1)

де , - густина імовірності того, що швидкість має абсолютну величну з компонентами v_x; v_y і v_z, а не якимись іншими.

З припущення про молекулярний хаос випливає незалежність значень компонентів швидкості, а отже і незалежність їх імовірностей. В зв’язку з цим імовірність (1) можна також записати так (за теоремою про множення імовірностей незалежних подій)

,

(2)

Порівняння (1) і (2) дає

(3)

Для того, щоб з цього функціонального рівняння визначити функції і , зробимо так:

а) прологарифмуємо вираз (3)

,

(4)

б) знайдемо похідну від (4) по v_x

,

(5)

в) введемо позначення

тоді (5) матиме вигляд:

(6)

г) диференціюючи (6) по v_y або v_z, одержуємо

Приймемо, що , де - суть додатна величина, множник 2 приєднаємо для зручності, а знак мінус потрібен для того, щоб виконувалась умова нормування.

Тоді, в силу (6), або

,

(7)

де .

Таким чином, з умови ізотропності і умови незалежності руху вздовж взаємно перпендикулярних осей випливає, що імовірність того, що, компонент швидкості v_x знаходиться в інтервалі від v_x до v_x+dv_x, визначається співвідношенням

,

де С і - деякі параметри (сталі), які повинні бути визначені за допомогою додаткових умов.