3. Канонічний розподіл Гіббса.

Для розв’язання конкретних задач зручніше розглядати не енергетично ізольовані системи, а системи, які знаходяться в тепловому контакті з оточуючим середовищем, температура якого стала (з термостатом), або розглядати системи, які можуть обмінюватись з термостатом енергією і частинками.

Розглянемо замкнену систему з жорсткими стінками (N=const, V=const), яка обмінюється енергією з термостатом і разом з ним утворює велику квантову ізольовану систему. Енергія системи не має строго фіксованого значення. Статистичний ансамбль у такому випадку називається канонічним. Поставимо питання про те, яка імовірність знайти нашу систему в станах з енергією між .

Енергії великої системи, термостата і системи пов’язані співвідношенням

(9)

де - енергія термостата в k-тому стані; - енергія системи в і-тому стані; знак “ ” підкреслює той факт, що енергія великої системи незмінна, а енергією взаємодії ми нехтуємо. Останнє означає, що систему і термостат можна вважати незалежними протягом тривалого часу. Квазінезалежна система може знаходитися у будь-якому із станів з енергією , а термостат – у станах з енергією . Зміна мікростану системи при незмінній енергії не впливає на стан термостата і навпаки.

Кожному інтервалу енергії великої системи, термостату і системи відповідає певне число квантових станів. Наприклад, число доступних квантових станів, які відповідають енергії системи в межах від до будемо позначати . Як ми уже раніше з’ясували, ~ . З цього випливає така властивість : якщо є система, що складається з двох незалежних частин, і число станів кожної з них рівне і , то число станів складної системи рівне .

Наша велика система знаходиться в стані рівноваги (за умовою). Отже, до неї можна застосувати постулат про мікроканонічний розподіл. З цього постулату випливає, що імовірність знаходження великої системи в будь-якому з доступних станів одна і та ж і рівна 1/ . Нас цікавить імовірність того, що система знаходиться в станах з енергією (від до ). Ці стани мають місце тоді лише, коли енергія великої системи не просто дорівнює Е, а ще й енергія термостату має певне значення: . Тому шукана може бути одержана сумуванням 1/ по всіх станах, для яких енергія системи , а енергія термостату :

,

де const – не залежить від .

Певне число доступних станів великої системи, в яких енергія квазінезалежної системи рівна , виражається добутком

.

Отже, шукану імовірність можна представити так

(10)

Для того, щоб розподіл (10) набув конкретного вигляду, необхідно розкрити залежність від . Це можна зробити, розклавши в ряд Тейлора і обмежившись першим членом розкладу. Перш ніж це робити, представимо число станів так:

, (11)

де - нова функція ( ).

Розкладемо в ряд Тейлора:

,

де

Підставляючи, одержимо:

, (12)

де під const розуміємо добуток коефіцієнта пропорційності і величини , яка не залежить від і властивостей квазінезалежної системи. Ця стала може бути знайдена з умови нормування:

Остаточно одержимо

(13)

Величина одержала назву модуля розподілу або статистичної температури. Сума називається “статистичною сумою” або “сумою за станами”.

Зауважимо, що ми одержали канонічний розподіл Гіббса з мікроканонічного розподілу для великої системи.

Для класичної квазінезалежної системи канонічний розподіл має такий вигляд

. (14)

Статистичний інтеграл визначається з умови нормування

.

Статистичний інтеграл пов’язаний з вільною енергією системи:

.

Тоді канонічний розподіл Гіббса набуває вигляд

(15)