Системы счисления

Система счисления - это совокупность правил записи чисел цифровыми знаками. Системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

В настоящее время и в технике и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления. Рассмотрим сначала примеры непозиционных систем счисления.

В качестве классического примера непозиционной системы счисления обычно приводят римскую форму записи чисел. Там не менее это не единственная непозиционная система счисления, используемая в настоящее время.

Сейчас, как и в глубокой древности, для записи числа используются так называемые “палочки”. Эта форма записи чисел наиболее понятна и требует для записи числа всего один символ. Число образуется суммой этих “палочек”. Однако при записи больших чисел возникают неудобства. Число получается громоздким и его трудно читать.

В следующем варианте непозиционной системы счисления стали использовать несколько символов (цифр). Каждая цифра обозначает различное количеств единиц. Конечное число точно так же как и в предыдущем варианте образуется суммой цифр. Наиболее яркий вариант использования такой системы счисления - это денежные отношения. Мы с ними сталкиваемся каждый день. Здесь никому не приходит в голову, что сумма, которую мы выкладываем за продукты, может зависеть от того, в каком порядке мы расположим монеты на столе! Номинал монеты или банкноты не зависит от того, в каком порядке она была вынута из кошелька. Это классический пример непозиционной системы счисления.

Однако чем большее число требуется представить в такой системе счисления, тем большее количество цифр требуется для этого.

Позиционные системы счисления были придуманы относительно недавно для того, чтобы сэкономить количество цифр, используемое для записи чисел.

Значение цифры в позиционной системе счисления зависит от её позиции в записываемом числе. В позиционной системе счисления появляются два очень важных понятия - основание системы счисления и вес цифры.

Дело в том, что в позиционной системе счисления число представляется в виде формулы разложения:

A_p=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+...+a₂p² +a₁p¹+a₀p⁰+a_-1p^-1+a_-2p ^-2+

...+a_-kp^-k

где p - основание системы счисления; p_i - вес единицы данного разряда; a_i - цифры, разрешённые в данной системе счисления.

При этом количество цифр в системе счисления зависит от основания.

Количество цифр равно основанию системы счисления.

В двоичной системе счисления две цифры, в десятичной – десять, а в шестнадцатеричной – шестнадцать.

Число в любой позиционной системе счисления записываются в виде последовательности цифр:

A=a_na_n-1...a₂a₁a₀,a_-1a_-2 ...a_-k,

где a_i – цифры данной системы счисления, а цифра, соответствующая единицам определяется по положению десятичной запятой (или десятичной точки в англоязычных странах). Каждая цифра, использованная в записи числа, называется разрядом.

Десятичная система счисления

Основание этой системы счисления p равно десяти.

В этой системе счисления используется десять цифр.

В настоящее время для обозначения этих цифр используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число в десятичной системе счисления записывается как сумма единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее.

То есть веса соседних разрядов различаются в  десять раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как десятые, сотые или тысячные доли единицы.

Для того чтобы показать, что в примере используется именно десятичная система счисления, используем индекс 10.

Если же кроме десятичной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то индекс обычно не используется:

A₁₀=247,56₁₀=2*10²+4*10¹+7*10⁰+5*10^-1+6*10^-2=

=200₁₀+40₁₀+7₁₀+0,5₁₀+0,06₁₀

Здесь самый старший разряд числа будет называться сотнями. В приведённом примере сотням соответствует цифра 2. Следующий разряд будет называться десятками. В приведённом примере десяткам соответствует цифра 4. Следующий разряд будет называться единицами. В приведённом примере единицам соответствует цифра 7. Десятым долям соответствует цифра 5, а сотым – 6.