34. Несобственные интегралы 1 рода (т1, т2, определение)

Определение: это интеграл с бесконечным пределом интегрирования.

Теорема 1: если для любого X>=а выполняется неравенство 0<=f(x)<=фи(х) и интеграл от а до бесконечности фи(х)dx сходится, то и интеграл от а до бесконечности f(x)dx сходится, причём интеграл f(x)dx<=интегралу от а до бесконечности фи(х)dx.

Теорема2: если для любого X>=а выполняется неравенство 0<= фи(х) <= f(x) и интеграл от а до бесконечности фи(х)dx расходится, то и интеграл от а до бесконечности f(x)dx расходится, причём интеграл f(x)dx>=интегралу от а до бесконечности фи(х)dx.

35. Несобственные интегралы 2 рода (т1, т2, определение)

Пусть функция f(x) определена и непрерывна при х от а до с (а ), а при х=с функция либо не определена либо разрывна. В этом случае нельзя говорить об интеграле это и есть несобственный интеграл 2-го рода и он определен.

Если предел стоящий с лева существует то не собственный интеграл называется сходящим иначе расходящимся. В случае когда функция терпит разрыв в левом конце отрезка при х=а то

В случае когда функция терпит разрыв в некоторой внутренней точке отрезка т.е. при х=х0 на а,с то разбиваем . Если существует оба несобственных интеграла правой части то существует и интеграл стоящий слева.

36. Формулы приложений определенного интеграла

1. формулы для вычисления площади

S=_a^b∫f(x)dx

S=_a^b∫(f(x)₂ –f(x)₁) dx

S=_∫1^∫2∫ρ²d∫

2.формулы для вычисления длины дуги

l=_a^b∫корень(1+(y’(x))² )dx

l=_∫1^∫2∫корень(ρ²+(ρ’)² )d∫

l=_a^b∫корень((∫’(t))²+(ψ’(x))² )dx

3.объём тела по площадям II сечений.

V=_a^b∫S(x)dx

4. объём тела вращения.

V=П_a^b∫(f(x))²dx

V=П_a^b∫(f₂(x)-f₁(x))²dx

5. поверхность тела вращения.

S_пов=2П_a^b∫(f(x)*корень(1+(f’(x))²)dx

6. вычисление работы:

А=_a^b∫(F(x)dx F(x)-сила.

7. вычисление массы стержня.

m= _a^b∫(δ(x)dx δ-плотность

8.координаты центра тяжести. (плоская однородная дуга).

37. Полярная система координат, связь с декартовой

В декартовой системе координат каждая точка имеет 2е системы координат – абсциссу(х) и ординату (y). Положение точки на плоскости можно создавать и другими способами.

Поставим произвольную точку О(полюс) и проведем ось (полярная ось), тогда положение любой точки однозначно определяется углом.

Между переменной осью и ОН и расстоянием ρ-от полюса. Таким образом у т. M в полярной системе координат две координаты M(ρ, ϕ). Заметим, что ρ>=0.

Построим точки M1 (1, π/2); М2 (3, π/6).

Если совместить начало декартовой системы и полюс, а полярную ось направить вдоль оси х, то между полярными и декартовыми координатами точками существует ось.

38. Определение двойного интеграла

При неограниченном увеличении частей области D и при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частичных областей, эта интегральная сумма имеет предел, который называется двойным интегралом по области D от функции f.

39. Свойства двойного интеграла

Область интегрирования можно разбивать на части

Двойной интеграл от суммы функции равна сумме двойных интегралов от всех слогаемых.

Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

a в первом интеграле чаще всего пределы конст, а во 2 зависят от той переменной которая при этом интегрировании является постоянной величиной.

40. 1 способ вычисления двойного интеграла

∫∫f(x,y)dxdy= _a^b∫dx _∫1(x)^∫2(x)∫(f(x,y)dy

41. 2 способ вычисления двойного интеграла

2 способ вычисления двойного интеграла с≤y≤d (y)≤y≤ (y) в двойном интеграле при двукратном интегрировании порядок интегрирования можно менять.

42. Замена переменных в двойном интеграле

Рассмотрим двойной интеграл в декартовых координатах, сделаем замену переменных, а нименно перейдём к полярным координатам. X=ρcos∫, y=ρsin∫. При таком преобразовании в интеграле с новыми переменными ρ и ∫ появляется так называемый якобиан – это определитель, составленный из частных производных, который равен ρ. Формула замены переменной: ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫ f(ρ, ∫)ρd∫dρ

43. Формулы приложений двойного интеграла

Вычисление площади области плоской Д S= xoy, то S= в полярных координатах S= x=ρcosϕ y=ρsinϕ dxdy=ρdρdϕ

Вычисление объема тела вертикального цилиндра имеющего своим основанием Д в плоскости хоу и ограниченной сверху поверхностью z=f(x,y) V=

Вычисление площади поверхности Sпов= dxdy D-проекция поверхности на плоскость хоу, z=f(x,y)

Задача на вычисление точки материальной (плоской фигуры занимающая область Д) – поверхностная плоскость пластины m= dxdy

Координаты центра тяжести пластины относительно оси ох. координаты центра тяжести. Если δ-константа то оно в этих интегралах сокращается

Моменты инерции пластинки произведение массы пластины на I=m . Для однородного вертикального цилиндра тела с образующей параллельной оси Oz имеющего своим основанием область Д и ограничено поверхностью z=f(x,y)