- •Частотные динамические характеристики
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •Критерий Гурвица. Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением
- •Критерий Рауса.
- •Частотные критерии устойчивости
- •Принцип аргумента. Рассмотрим уравнение:
- •Критерий Михайлова Рассмотрим характеристическое уравнение системы
- •Критерий Найквиста
- •У замкнутой системы изменение аргумента при изменении частоты от 0 до :
- •Пример 1.
- •Запас устойчивости Запас устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица
- •Запас устойчивости при частотных критериях устойчивости
- •Устойчивость систем со звеном чистого запаздывания
- •Устойчивость систем сау
Алгебраические критерии устойчивости
Необходимое условие устойчивости: положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.
Критерий Гурвица. Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением
,
устойчива, если при a0>0 положительны все определители ∆1, ∆2, . . .∆п вида
Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆п=0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n=1;2;3;4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.
1. Для уравнения первого порядка (n=1)
условие устойчивости: а0>0 и ∆1=а1>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.
2. Для уравнения второго порядка (n=2)
условие устойчивости:
Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.
3. Для уравнения третьего порядка (n=3)
условие устойчивости:
При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а1, а2) было больше произведения крайних (а0, а3).
4. Для уравнения четвертого порядка (n=4)
кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия
.
При n=4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при
.
Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель
∆п-1 были положительными.
Критерий Рауса.
САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца таблицы Рауса (включая а0 и а1).
,
где i – номер строки, j – номер столбца.
Если не все коэффициенты столбца положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.
Таблица:
Пример:
Характеристическое уравнение:
Частотные критерии устойчивости
На практике широкое распространение получили частотные критерии устойчивости: критерий Михайлова, критерий Найквиста. И тот, и другой критерии базируются на принципе комплексного аргумента.
Принцип аргумента. Рассмотрим уравнение:
,
здесь i – корни данного уравнения
.
Каждому корню i на комплексной плоскости соответствует некоторая точка. Если соединить точку с нулем, то можно говорить о векторе.
Д
лина вектора равна модулю комплексного числа i, а угол, образуемый положительной действительной осью и вектором i, есть аргумент комплексного числа i.
П
ридадим значение j (=j). Считаем движение против часовой стрелки положительным, тогда для корней, находящихся в левой части комплексной плоскости при изменении частоты , вектор (-i) описывает угол +.
Для корней, находящихся в правой полуплоскости, вектор (-i) при изменении частоты опишет угол -.
Считаем, что порядок системы п-ый , и m корней положительные, значит отрицательных – п-т. Тогда суммарный угол поворота всех векторов составит следующее выражение:
.