Асимптоты гиперболы

Пусть Г - какая-нибудь линия, М - переменная точка на ней, а - некоторая прямая. Если возможно такое движение точки М по линии Г, что:

1. точка М уходит в бесконечность;

2. при этом расстояние от точки М до прямой а стремится к нулю, -

то говорят, что линия Г ассимптотически приближается к прямой а. Прямая а в таком случае называется асимптотой линии Г.

Асимптотами гиперболы называются прямые, имеющие уравнения:

и (3)

Эти прямые являются диагоналями основного прямоугольника. Построим гиперболу и рассмотрим какую-нибудь точку М(х;у), лежащую на гиперболе в первом квадранте.

Выясним, как в первом квадранте по мере возрастания х будет изменяться расстояние от точки М гиперболы до асимптоты . Обозначим через N точку асимптоты с абсциссой х: N(x;Y), где Y= . Тогда

(4)

Так как а  х, то в скобках первое слагаемое всегда больше второго, следовательно, Y-y>0, а это означает, что при одной и той же абсциссе точка гиперболы лежит под соответствующей точкой асимптоты.

Преобразуя неравенство (4):

, (5)

убеждаемся, что длина отрезка MN по мере возрастания х уменьшается, и когда х неограниченно растет, то MN стремится к нулю. Так как MN больше расстояния МК от точки M до асимптоты, то при этом МК и подавно стремится к нулю.

Аналогичное рассуждение можно провести в любом квадранте.

Итак, прямые в смысле определения являются асимптотами гиперболы

.

При построении гиперболы обычно строят основной прямоугольник и проводят асимптоты, так как они позволяют точнее вычерчивать гиперболу.

Равнобочная гипербола

Возьмем каноническое уравнение гиперболы

.

В случае, когда а=b, уравнение гиперболы имеет вид

или

х² - у² = а² (6)

Гипербола, у которой полуоси а и b равны, называется равнобочной гиперболой. Уравнение (6) называется уравнением равнобочной гиперболы. Так как основной прямоугольник этой гиперболы является квадратом, то асимптоты равнобочной гиперболы будут перпендикулярны друг другу (Рис. 5)

Рис. 5

Сопряженная гипербола

Рассмотрим уравнение

(7)

Представим уравнение (7) в следующем виде:

(8)

Очевидно, что уравнение (8) представляет собой уравнение гиперболы, у которой действительной осью является ось ординат, а мнимой - ось абсцисс.

Построим основной прямоугольник, проведем асимптоты и построим гиперболу (7). Далее в той же системе координат построим (пунктиром) (Рис. 6) гиперболу

Рис. 6

Очевидно, что гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Выведем теперь уравнение гиперболы, асимптотами которой служат оси координат. Возьмем уравнение равнобочной гиперболы х² - у² = а² и рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат Х`OY`, полученной из старой поворотом осей координат на угол = (Рис. 2).

Используя для этого формулы поворота осей координат:

х = х`cos - y`sin;

y = x`sin + y`cos,

подставим значения х, у в уравнение гиперболы:

х² - у² = а²,

получим:

(9)

Обозначая , получим х`y`=c.

Уравнение равнобочной гиперболы, для которой координатные оси ОХ и OY являются асимптотами, будет иметь вид:

ху = с

или

.