
- •1.1. Векторная алгебра Для замечаний
- •1.1.4. Уравнение линии на плоскости
- •1.1.4.1.Параметрическое представление линии
- •1.1.4.2.Уравнение линии в полярных координатах
- •1.1.4.3. Пересечение двух линий
- •1.1.4.4. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве
- •1.1.5. Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •1.1.5.1. Общее уравнение прямой
- •1.1.5.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •1.1.5.3. Уравнение прямой в отрезках
- •1.1.5.4. Каноническое уравнение прямой
- •1.1.5.5. Параметрические уравнения прямой
- •1.1.5.6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •1.1.5.7. Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой
- •1.1.5.8. Приведение общего уравнения прямой к нормированному виду
1.1. Векторная алгебра Для замечаний
1.1.4. Уравнение линии на плоскости
Пусть на плоскости заданы декартова прямоугольная система координат Oxy и некоторая линия L. Рассмотрим уравнение, связывающее переменные x и y
(1.1)
Определение. Уравнение (1.1) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты x и y ни одной точки, не лежащей на линии L.
Т.е. линия L представляет собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.1).
Примеры. 1).
Уравнение
является уравнением окружности радиуса
с центром в точке
.
2). Уравнение
определяет на плоскости Oxy только одну
точку (0,0).
3). Уравнение
вообще не определяет никакого
геометрического образа.
1.1.4.1.Параметрическое представление линии
Для аналитического представления линии L возможно выражать координаты x и y точек этой линии при помощи параметра t :
,
(2.1.)
где функции
непрерывны по параметру t в области
изменения
этого параметра. Исключение из двух
уравнений (2.1) параметра t приводит к
уравнению вида (1.1).
Пример. Найдем параметрические уравнения окружности радиуса с центром в начале координат.
|
Пусть
|
Эти уравнения
представляют собой параметрические
уравнения нашей окружности. Чтобы точка
один раз обошла окружность, t должно
изменяться в пределах:
.
Для исключения параметра t из уравнения
(2.2), нужно возвести в квадрат и сложить
уравнения (2.2); получим
.
1.1.4.2.Уравнение линии в полярных координатах
Введем на плоскости полярные координаты. выберем на плоскости точку O (полюс) и выходящий из нее луч Ox; укажем единицу масштаба.
Полярными
координатами точки
M называются два числа:
(полярный
радиус) равное расстоянию точки M от
полюса O и
(полярный
угол)- угол, на который нужно повернуть
против часовой стрелки луч Ox до совмещения
с лучом OM. Точку M обозначают символом
и обычно считают, что
.
Если начало
декартовой прямоугольной системы
находится в полюсе, а ось абсцисс
совпадает с полярной осью, то очевидна
связь между полярными координатами
точки
и ее декартовыми координатами
:
(3.1)
Возводя эти
уравнения в квадрат и складывая их,
получим
.
Разделив одно на другое, получим, что
,
а также используя знаки x и y, определим
четверть, в которой находится точка M.
Т.е., зная декартовы координаты точки x
и y можно найти ее полярные координаты.
Если
представляет собой уравнение линии L в
декартовой прямоугольной системе
координат Oxy, то достаточно подставить
на место x и y их выражения в полярных
координатах (3.1): получим
,
где использовали обозначение
.
1.1.4.3. Пересечение двух линий
Задача о нахождении
точек пересечения двух линий
,
заданных уравнениями
,
состоит в нахождении координат точек,
удовлетворяющих каждому из этих
уравнений.
Т.е. нужно решить систему уравнений
Если эта система не имеет решений, то линии не пересекаются.
Пример. Найти
точки пересечения окружностей
.
Решаем систему уравнений
Вычитая из первого уравнения второе, получим
Отсюда найдем,
что
.
Мы получили две точки пересечения
.