Задание 23. Вычислить интеграл

Решение: Преобразуем подынтегральную функцию:

Далее представляем интеграл алгебраической суммы в виде суммы интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знаки интегралов, и, пользуясь таблицей интегралов, получим:

Проверка:

Задание 24.

Вычислить интеграл

Решение:

Первый способ. Полагая , получим

Второй способ.

Умножая и деля на –2 и замечая, что , получим

Проверка:

Задание 25. Вычислить интеграл

Для вычисления интеграла от функции, содержащей квадратный трехчлен, надо выделить полный квадрат их квадратного трехчлена, заменить переменную, в результате чего получим табличные интегралы.

Выделяя полный квадрат в знаменателе, имеем:

. Далее, заменяя , , получим:

Проверка:

Задание 26. Вычислить интеграл .

Решение: При вычислении этого интеграла надо применить метод интегрирования по частям. Положив , , найдем:

. Подставляя в формулу

, получим

Проверка:

При интегрировании по частям важен выбор функции u и v. В качестве u выбирается та часть подынтегрального выражения, которая существенно упрощается при дифференцировании. За dv – та часть подынтегрального выражения вместе с dx, которая может быть проинтегрирована.

Задание 27.

Вычислить интеграл

Решение:

Имеем . Разложим рациональную дробь.

на простейшие дроби, имея в виду, что квадратный трехчлен не имеет действительных корней:

Отыщем методом неопределенных коэффициентов постоянные А, В, С. Умножая на х³ + 1 обе части равенства, получим:

Это равенство тождественно по х тогда и только тогда, когда выполнены равенства (равны коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях):

При х² А + В = 0

При х¹ –А + В + С = 0

При х⁰ А + С = 1

(свободный член)

Полученная система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными имеет следующее решение:

Итак, . Интегрируя, получим:

Проверка:

Задание 28. Вычислить интеграл

Решение: Подстановка , где k – общее наименьшее кратное показателей всех радикалов, под которыми х входит в подынтегральную функцию, приводит к интегралу от рациональной дроби.

В нашем примере х входит в подынтегральную функцию под радикалами с показателями 2 и 3. Следовательно, делаем подстановку .

Тогда:

Задание 29.

Вычислить интеграл

Решение: Т.к. при изменении знаков sinx и cosx подынтегральное выражение не меняет знака, применим подстановку

Интегрируя, получим:

Проверка:

Задание 30. Вычислить интеграл

Решение: Поскольку подынтегральная функция рационально зависит от sinx и cosх, то применим универсальную подстановку

Интегрируя, получим:

Проверка:

Задание 31. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = х и параболой у = 2 – х² .

Р

ешение: Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой:

х – 2 + х² = 0

х₁ = –2; х₂ = 1

Воспользуемся формулой для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми:

При а = –2, b = 1, f₂(x) = 2 – x², f₁(x) = x

Получим:

Ответ: кв. ед.

Задание 32. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси ОХ.

Решение: Ограниченная линиями и фигура, при вращении вокруг оси ОХ образует тело, объем которого можно найти как разность объемов V₁ и V₂, образованных вращением вокруг оси ОХ трапецией А₁АВВ₁ и А₁АОВВ₁.

Искомый объем

Задание 33. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Решение: Определение называется предел