Нижегородский государственный технический университет

им. Р.Е.Алексеева

Кафедра «Прикладная математика».

Курсовая работа по дисциплине «Информатика».

«Численное моделирование и анализ переходных процессов в электрической цепи».

Вариант №16.

Выполнил: ст. гр. 10-ЭПА-2

Абросимов А.О.

Проверил: ст. пр.

Моругина Т.В.

Нижний Новгород.

2011 г.

Содержание

1. Введение……………………………………………………………………………3

2. Постановка задачи………………………………………………………………...4

3. Вывод системы дифференциальных уравнений……………………………….5

4. Задание на курсовую работу…………………………………………………………..6

5. Описание применяемых в работе методов…………………………………………...7

5.1 Метод численного дифференцирования………………………………………7

5.1.1 Метода Эйлера 2-я модификация...………………………………….7

5.2 Метод аппроксимации………………………………………………………….7

5.2.1 Метод наименьших квадратов……………………………………….7

5.3 Методы численного интегрирования………………………………………….7

5.3.1 Метод левых прямоугольников………………………………………7

5.3.2 Метод правых прямоугольников……………………………………..8

5.3.3 Метод центральных прямоугольников………………………………8

5.3.4 Метод трапеций……………………………………………………….8

5.3.5 Метод Симпсона………………………………………………………8

6. Численная реализация решения системы дифференциальных уравнений………....9

6.1 Реализация в программе MathCad. Метод Рунге-Кутта...…………………….9

6.2 Реализация в программе MathCad. Метод Эйлера 2-я модификация ……...11

6.3 Реализация в программе С++. Метод Эйлера 2-я модификация…….………14

6.3.1 Блок-схема…………………………………………………………….14

6.3.2 Код программы………………………………………………………..15

7. Решение задачи аппроксимации зависимости ……………………………….....17

7.1 Реализация в пакете Excel………………………………………………………17

7.2 Реализация в программе MathCad. Метод наименьших квадратов………….19

8. Численное интегрирование………………………………………………………….....24

8.1 Реализация в программе С++.

Метод парабол (Симпсона)…………..………………………………………....24

8.1.1 Блок-схема………………………………………………………….…..24

8.1.2 Код программы…………………………………………………………25

8.2 Реализация в программе MathCad……………………………………………....25

9. Выводы……………………………………………………………………………….......27

10. Список литературы……………………………………………………………………....29

1 Введение

В ходе данной работы будут проанализированы переходные процессы в электрической цепи. Работа подразделена на 3 части. 1 часть работы включает в себя решение системы дифференциальных уравнений, описывающих переходный процесс в электрической цепи. 2 часть работы представляет собой процесс решения задач аппроксимации. Заключительная 3 часть работы: численное интегрирование. Для выполнения данной курсовой работы необходимо применение не только знаний по информатике, но также и по физике, математике.

2 Постановка задачи

Д ана схема электрической цепи, содержащая источник переменного тока, катушку индуктивности, конденсатор, набор резисторов и ключ.

Рисунок 1 – Схема электрической цепи

Параметры элементов цепи:

- гармонический источник тока; E₀=15В – амплитуда колебаний; - циклическая частота; - линейная частота; - фаза; - текущее время; =30ом, =25ом, =50ом, =1,88ом, =15ом, =50ом – резисторы; L=5,57мГн– катушка индуктивности; С=20мкФ – конденсатор. В начальный момент времени t=t₀=0 ключ находится в положении 1. При этом цепь разомкнута, напряжение на конденсаторе и ток на катушке равны нулю (U=0,I=0). Происходит первое переключение ключа (ключ мгновенно переводится в положение 2). При этом происходит заряд конденсатора, меняются значения U и I.

В момент времени t=t₁=0,01с ключ мгновенно переключается в положение 1. Конденсатор разряжается, вновь меняются значения U и I. Анализ схемы заканчивается в момент t=t₂=0,02с.

Задание по варианту:

, , , .

3 Вывод системы дифференциальных уравнений.

В соответствии с рисунком запишем выражения для 1-го и 2-го законов Кирхгоффа для положения ключа 1:

(1)

Систему (1) можно преобразовать, исключив токи I₁ и I₂. Тогда для величин I и U получим систему дифференциальных уравнений первого порядка:

(2)

Начальные условия: I(t₀)=0; U(t₀)=0.

Аналогично может быть получена система дифференциальных уравнений для величин I и U при положении ключа 2. В этом случае имеем:

(3)

В качестве начальных условий для системы (3) I(t₁), U(t₁) следует использовать соответствующие значения, полученные в результате решения системы (2).

4 Задание на курсовую работу

1. Численная реализация решения систем дифференциальных уравнений (2) и (3):

• Алгоритмически, построив блок схемы и программы на языке высокого уровня (С++), используя алгоритмы метода Эйлера

При построении алгоритма и программы следует обратить внимание на размерности физических величин (перевести величины в систему СИ). Шаг дискретизации (печати) должен быть таким, чтобы обеспечить не менее 40 значений величин I и U на интервале времени .

2. Решение задачи аппроксимации зависимости I(t) и U(t) на интервале . . Используя пакет Excel и его возможности (поиск решения, мастер диаграмм с выводом уравнения линии тренда).

• Использовать алгоритм метода наименьших квадратов, провести ручной счёт

На выходе второго этапа получается аналитические формулы для величин I(t) и U(t).

3. Численное интегрирование. Необходимо определить количество теплоты, выделяемой на резисторе за период времени . Это можно сделать, взяв следующий интеграл:

(4)

где зависимость I(t) берется по результатам предыдущего этапа. Численное интегрирование проводится:

• Алгоритмически, написав программу на языке высокого уровня (С++), используя пять методов интегрирования: метод парабол (Симпсона);

• Сосчитать интеграл аналитически;

Сравнить полученные результаты

5 Описание применяемых в работе методов

5.1 Метод численного дифференцирования

5.1.1 Первая модификация метода Эйлера

На первом шаге выполняется нахождение значений y по методу Эйлера на половине шага.

На втором этапе решение ищется на полном шаге. При этом строится не касательная, а хорда с наклоном равным наклону касательной на предыдущем этапе.

1 этап

y_i+1/2=y_i+f(x_i, y_i)(x_i+1/2-x_i)

2 этап

y_i+1=y_i+f(x_i+1/2, y_i+1/2)(x_i+1-x_i)

5.2 Метод аппроксимации

5.2.1 Метод наименьших квадратов

Идея метода наименьших квадратов заключается в нахождении аппроксимирующей функции из условия минимальности суммы квадратов отклонений этой функции в данных точках от соответствующих табличных значений. Для полинома степени нужно записать систему линейных уравнений:

где - квадратная матрица размером , составленная из известных координат точек, - вектор-столбец неизвестных коэффициентов, - вектор-столбец свободных членов.

(6)

Находим все неизвестные коэффициенты и подставляем в полином.