2Модели систем массового обслуживания

Первый раздел включает в себя изложение основного математического аппарата, необходимого для решения задач, составляющих предмет теории телетрафика. Основной материал здесь заимствован в [2]. Некоторая кажущаяся сложность уравнений при более практичном взгляде оказывается преодолимой, если рассматривать сразу при прочтении простые и очевидные примеры.

2.1Предметная область теории телетрафика

В этой части мы рассматриваем несколько простых практических задач, которые послужили во многом источником развития теории телетрафика, и даем в общем виде постановку проблемы с математической точки зрения.

2.1.1Информационные процессы и конфликты обслуживания

Основу всех процессов в телекоммуникационных системах составляет передача и обработка сообщений, под которыми мы понимаем некоторое одномерное представление информации с выделенными началом и концом. Появление в системе каждого сообщения будем отождествлять с требованием (arrival) на его передачу или обработку. Обработка или передача каждого сообщения занимает некоторое конечное время, называемое в теории телетрафика время обслуживания (holding time). Часть системы, участвующая в процессе передачи или обработки сообщения так, что одновременно с ним никакое другое сообщение не может обрабатываться этой частью, назовем сервером (server). Таким образом, если система содержит ровно один сервер, то в каждый момент времени она способна обслуживать не более чем одно требование. Если на такую систему, занятую обслуживанием, в течение интервала времени обслуживания поступит еще одно требование, то оно не сможет быть обслужено. Это простейший случай ресурсного конфликта – требования, поступающие друг за другом, не могут быть обслужены немедленно при поступлении или как говорят в реальном масштабе времени из-за того, что сервер не успевает обслужить требования за время между их поступлениями. Конфликт не возникнет, если система будет содержать не один, а несколько серверов, включенных так, чтобы поступающие требования распределялись бы для обслуживания на любой свободный из них в данный момент. Однако, очевидно, что если время обработки не бесконечно мало по сравнению с интервалом между поступлением требований, то и в системе с несколькими серверами может возникнуть ресурсный конфликт – поступившее требование не сможет получить немедленного обслуживания, так как все серверы окажутся занятыми в данный момент. В этом случае система может просто проигнорировать поступившее требование. Оно будет отброшено, а система, как говорят, будет считаться заблокированной. Вероятность такого события является важной характеристикой системы. Ее принято называть вероятностью блокировки ( blocking probability). Чтобы ни одно требование не было потеряно в результате ресурсного конфликта, в системе может быть предусмотрен специальный буфер памяти, в который будут помещаться требования, которые не могут быть обслужены немедленно при поступлении из-за занятости всех серверов. В этом случае говорят, что в системе организуется очередь (queue) требований или что рассматривается система с очередями (queuing system). В очереди может оказаться не одно, а несколько требований, если число поступающих требований за некоторый интервал времени превысит число освободившихся за это время серверов. Если очередь не будет бесконечно нарастать, все требования рано или поздно будут обслужены, однако время их пребывания в очереди будет разным и может рассматриваться как случайная величина. Распределение этой случайной величины также является важнейшей характеристикой системы обслуживания. Часто для оценки качества используется только ее среднее значение – среднее время ожидания обслуживания (average waiting time). Таким образом, недостаточность ресурсов в телекоммуникационной системе может приводить либо к потерям поступающих на обработку или передачу сообщений, либо к задержке их обслуживания.