Тема 5. Метод геометрической оптики для сред с крупномасштабными случайными неоднородностями.

Тематический план:

• Асимптотическое представление решения уравнения Гельмгольца в виде ряда по обратным степеням волнового числа.

• Уравнения эйконала и переноса.

• Лучевые равнения как уравнения характеристик для эйконала.

• Теория возмущений в уравнениях геометрической оптики.

• Флуктуации фазы поля и углов прихода лучей.

• Их среднее значение и корреляционная функция. Флуктуации уровня (логарифма амплитуды) поля.

• Их среднее значение и корреляционная функция.

• Относительная роль флуктуаций фазы и уровня поля в геометрооптическом приближении.

• Среднее поле в приближении геометрической оптики.

• Распространение импульсных сигналов и двухчастотная и пространственно-частотная функция когерентности в приближении геометрической оптики.

Учебная информация:

Рассмотрим прибли­женные методы решения задач о прохождении волн через среды с крупными случайными неоднородностями, характерные размеры которых велики по сравнению с длиной волны . Как мы уже знаем, при этом рассеяние на большие углы (и, в частно­сти, рассеяние назад) пренебрежимо мало. В результате флук­туации волнового поля определяются преимущественно теми неоднородностями, которые лежат на пути волны, т. е. в окрест­ности луча, соединяющего источник и точку наблюдения. Обычно говорят поэтому не о рассеянии, а о распространении волн в случайно-неоднородных средах с крупными неоднородностями. Задачи такого типа, как и задачи о рассеянии волн, рассмот­ренные в предыдущей теме, относятся, по классификации, к статистическим проблемам типа 2).

Существуют три основных приближенных метода, используе­мых для решения задач о флуктуациях коротковолновых ( ) полей в случайно-неоднородной среде: метод геометрической оптики (МГО), метод плавных возмущений (МПВ) и метод пара­болического уравнения (МПУ).

Сначала мы рассмотрим наиболее простой и наглядный из них — метод геометрической оптики. Первые расчеты по флуктуациям волн в средах с крупными неоднородностями были проведены именно при помощи. Простота метода связана с тем, что, в отличие от метода плавных возмущений и метода параболического урав­нения, приближение геометрической оптики не учитывает ди­фракционных эффектов, в силу чего область его применимости, конечно, уже, чем у МПВ и МПУ. Однако в своей области метод геометрической оптики обладает определенными достоин­ствами. Во-первых, при помощи МГО удается исследовать ряд эффектов (таких, как влияние регулярной рефракции и усиление флуктуации поля в окрестности каустик), которые труднее опи­сать при помощи двух других методов. Во-вторых, некоторые результаты МГО сохраняют силу и за пределами области его применимости. Это относится к расчетам флуктуации фазы и направления распространения волн (но не к флуктуациям ампли­туды). Указанные достоинства немало способствовали тому, что метод геометрической оптики широко применялся, несмотря на успехи, достигнутые при помощи МТВ и МПУ. Можно добавить еще, что приближение геометрической оптики послужило эври­стической основой при разработке обоих указанных асимптоти­ческих методов, учитывающих дифракционные эффекты.

Напомним коротко вывод уравнений геометрической оптики для простейшего случая скалярной монохроматической волны, распространяющейся в среде с неподвижными непрерывными неоднородностями. Пусть проницаемость в уравнении Гельмгольца

мало меняется на длине волны λ ( — плавно неодно­родная среда). В этих условиях естественно предположить, что поле и в каждой точке приближенно имеет структуру плоской волны:

где амплитуда А и градиент фазы ∇S— медленные (в масштабе λ) функции координат.

Воспользовавшись медленностью изменения А и ∇S, нетрудно получить уравнения для A и S или для величины , ко­торая представляет собой фазовый путь волны и называется эйконалом).

Предложенный Дебаем способ вывода уравнений для ампли­туды А и эйконала состоит в следующем. Разложим ампли­туду А в ряд по обратным степеням волнового числа:

Коэффициенты А_т в этом разложении в общем случае комп­лексны и поэтому дают вклад и в фазу результирующего поля. Подставив ряд (5.3) в уравнение Гельмгольна и приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях k, получаем систему уравнений для , А₀, A₁ А₂ ... :

Уравнение (5.4) носит название уравнения эйконала, а после­дующие уравнения для A_n (n = 0, 1, 2, ...) называют уравне­ниями переноса для амплитуд соответственно нулевого, первого и n-го приближений. Обычно ограничиваются нулевым прибли­жением МГО, оставляя в разложении (5.3) только член А₀. Последующие члены в (5.3) отбрасывают не только из-за слож­ности их вычисления, но главным образом потому, что ряд (5.3) является асимптотическим», а для асимптотических раз­ложений, как известно, увеличение числа учитываемых членов не всегда ведет к улучшению аппроксимации.

Уравнению эйконала (5.4) отвечают характеристики (лучи), на которых функционал экстремален (принцип Ферма). Уравнения лучей можно записать в различных формах. Для наших целей их удобно представить в виде

где ds — элемент длины луча, a t —касательный к лучу единич­ный вектор, который одновременно является и нормалью к фа­зовому фронту S = kφ=const. Так как |∇φ|= , имеем

Если тем или иным способом решение лучевых уравнений (5.6) найдено, то уравнение эйконала (5.4) и уравнения переноса (5.5) могут быть проинтегрированы вдоль лучевых траекторий. Эйконал находится по формуле

а амплитуда А₀ — из условия сохранения интенсивности I — в бесконечно тонкой лучевой трубке сечения dΣ (рис. 6):

Рис. 6

Последнее соотношение вытекает непосредственно из уравнения переноса (5.5), если записать последнее в виде

и проинтегрировать по объему между двумя сечениями беско­нечно тонкой лучевой трубки.

Одно из условий применимости МГО состоит в требовании плавности изменения параметров среды:

Переход к геометрическому приближению (т. е. пренебрежение всеми членами в (5.3), кроме нулевого) допустим при условии малости радиуса первой зоны Френеля (L — дистанция, пройденная волной) по сравнению с характерным масштабом неоднородностей :

При выполнении этого условия можно пренебречь дифракцион­ными эффектами, которые в рамках МГО проявляются именно в первом порядке по .

Обратимся теперь к случайно-неоднородной среде. Получить аналитическое решение уравнения эйконала (5.4) или уравне­ний лучей (5.6) при произвольной зависимости проницаемости от координат невозможно, это вынуждает и здесь при решении статистических задач прибегать к приближенным методам и в первую очередь — к методу возмущений: Пусть , причем флуктуациопная компонента мала по сравнению с регулярной: . Представим эйконал в виде ряда

предположив, что удовлетворяет «невозмущенному» уравнению эйконала

и , и т.д. Подставляя ряд в уравнение эйконала (5.4) и учитывая (5.12), получаем для поправок , ... следующие линейные уравнения:

Решения этих уравнений можно выразить в квадратурах, если известны невозмущенный эйконал и невозмущенные лучи и , удовлетворяющие лучевым уравне­ниям (5.6) при . Заметим, что в нулевом приближении , где t₀=dr₀=ds — единичный вектор, касательный к невозмущенному лучу r = r₀(s). Тогда уравнение (5.13) для попрании первого порядка , которой обычно и ограничиваются при расчетах, принимает вид

откуда следует, что

Интегрирование здесь ведётся вдоль невозмущенного луча r = r₀(s), т.е. под знак интеграла входят функции и .

В простейшем случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси z в однородной (в среднем) среде с = const, невозмущенное значение эйконала равно ; при этом лучи представляют собой прямые, параллельные оси z:

, , .

В этом случае

Для приземной атмосферы, а также для ионосферы в случае ультракоротких радиоволн можно считать, что , и тогда

Аналогичным образом, как мы увидим далее, можно развить теорию возмущений для амплитуды, направления распростране­ния волн, отклонений луча от невозмущенной траектории и т.д.

Применяя метод возмущений для расчета флуктуации ампли­туды И фазы волн, мы используем малость флуктуации про­ницаемости:

и отбрасываем члены второго порядка малости относительно . Условия, при которых можно пренебречь членами второго порядка малости, сводятся к требованию малости дисперсии уровня амплитуды :

что эквивалентно (при малых ) условию . Заметные флуктуации уровня наступают, очевидно, там, где лучи начи­нают пересекаться и образуют случайные фокусы и каустики. Поэтому условие (5.19) фактически ограничивает интенсивность флуктуации дистанцию L такими значениями, при которых образование каустик еще маловероятно.

Приведенные условия применимости имеют характер доста­точных условий. Что же касается необходимых условий, то здесь можно высказать только качественное соображение, состо­ящее в том, что дифракционные эффекты слабее влияют на поведение фазы, чем амплитуды, вследствие чего пределы при­менимости расчетов фазы могут оказаться более широкими. И действительно, сравнение с методом плавных возмущений показывает, что некоторые результаты геометро-оптического приближения, относящиеся к статистическим характеристикам фазы и углов прихода, справедливы (с точностью до коэффи­циента порядка единицы) за пределами, устанавливаемыми нера­венствами (5.10) и (5.19). Неравенства же (5.9) и (5.18) должны выполняться в любом случае.

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Характеризуйте три основных приближенных метода, используе­мых для решения задач о флуктуациях коротковолновых ( ) полей в случайно-неоднородной среде.

2. С какими дифракционными эффектами сталкивается статистическая радиофизика.

3. Границы применимости метода геометрической оптики.

4. Что такое эйконал?

5. В простейшем случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси z в однородной среде с = const, чему равно невозмущенное значение эйконала.

6. Что представляют собой лучи в простейшем случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси z в однородной среде.

7. Какой приближенный метод был использован для аналитического решение уравнения эйконала при произвольной зависимости проницаемости от координат.