Тема 3. Метод безграничного хаотического экрана.

Тематический план:

• Представление поля за экраном.

• Приближения волновой зоны, зоны Френеля и зоны Фраунгофера для поля за экраном.

• Среднее поле и корреляционная функция поля за экраном.

• Продольная и поперечная корреляционные функции для крупномасштабных и мелкомасштабных флуктуаций поля на экране.

• Фазовый экран.

• Функции когерентности и корреляции поля за фазовым экраном.

Учебная информация:

Первичное поле на границе рассматриваемой области может флуктуировать как из-за флуктуации в его источниках (нахо­дящихся вне данной области), так и в результате случайных возму­щений, внесенных в первоначально детерминированную первичную волну при ее распространении. Примером может служить прохож­дение этой волны через случайно-неоднородную среду или слой такой среды. Если толщина этого слоя достаточно мала, то его можно рассматривать как бесконечно тонкий экран. Примени­мость общих методов расчета поля в области, па границе кото­рой S, задано случайное поле, конечно, не связана с тем, по каким причинам флуктуирует поле на границе. Существенно лишь то, что статистика этих флуктуации известна,

Начнем с простейшей задачи о прохождении плоской мо­нохроматической волны через плоский безграничный хаотический экран.

Основные соотношения. Пусть монохроматическая волна падает на безграничный экран, расположен­ный в плоскости z = 0. Экран пространственно модулирует па­дающую волну в соответствии со своей функцией пропускания — комплексной функцией, модуль которой описывает ампли­тудную модуляцию, а аргумент — фазовую. Граничное на , т. е. поле непосредственно за экраном z = 0, есть

Для краткости мы опускаем множитель , а также аргумент в спектральных амплитудах.

Если падающая волна плоская и распространяется по нор­мали к экрану, то , так что

— поле на граничной плоскости просто равно функции пропускания, и, соответственно, статистика в случае хао­тического экрана та же, что у Формулы (2.12) и (2.16) позволяют связать статистические моменты поля , за экраном (т. е. в области z > 0) с моментами граничного поля Найдем первый и второй моменты поля в простей­шем случае статистически однородного хаотического экрана, для которого

а корреляционная функция зависит только от разностей коор­динат:

В силу (3.2) имеем

Для среднего поля за экраном по формуле (2.12) находим

Интеграл легко вычисляется и равен . Таким об­разом, среднее поле за экраном — это плоская волна

амплитуда которой v₀ равна средней прозрачности .

Для нахождения функции корреляции воспользуемся выра­жением (2.16), из которого следует, что

где р' и р" даются выражением (2.15) соответственно при и . Но для однородного граничного поля

где — двумерная спектральная плотность, через которую выражается корреляционная функция граничного поля:

Подставляя (3.5) в (3.4), находим

Таким образом, пола статистически однородно в плос­костях z = const, что является следствием однородности в плоскости z = 0. Из сравнения (3.7) с двумерным спектраль­ным представлением

следует, что пространственная спектральная плотность есть

Спектральные составляющие с (неоднородности граничного поля меньше длины волны) порождают в полупространстве z > 0 неоднородные волны, ослабевающие при удалении от эк­рана по экспоненциальному закону. Для точек наблюдения удаленных от экрана уже на несколько длин волн ( ), приближенно

Подставляя (3.9) в (3.8), получаем для корреляционной функции выражение

где Из (3.10) видно, что при случайное поле становится статистически однородным не только в поперечных плоскостях z = const, но и в продольном направлении z.

Используя формулу (3.10), рассмотрим частные случаи мел­комасштабных и крупномасштабных флуктуации граничного ноля .

В случае мелкомасштабных флуктуации, когда радиус кор­реляции граничного поля l_v мал по сравнению с длиной вол­ны , т. е. при , можно принять, что спектральная плот­ность практически постоянна в круге приближен­но равна . Тогда из (3.10) получаем

Поперечная функция корреляции, т. е. функция корреляции в плоскости z = const, перпендикулярной к направлению распрост­ранения, получается из (3.11) при :

где — функция Бесселя первого порядка. При увеличении отношение проходит в первый раз через нуль при , т. е. при . Таким образом, уже на расстоя­ниях в несколько от экрана поперечный радиус корреляции поля — величина порядка длины волны, т. е. значительно больше радиуса корреляции в плоскости z = 0: .

Из выражения для продольной функции корреляции

следует, что продольный радиус корреляции и тоже порядка длины волны: . Таким образом, в случае мелкомас­штабных флуктуации на экране как поперечный, так и продольный радиусы корреляции поля при удалении от экрана увели­чиваются и при достигают значений порядка длины волны.

Вместе с тем происходит уменьшение дисперсии флуктуации, т. е. их сглаживание. Действительно, при помощи (3.11) находим

Но

так что

В пределе при (очень мелкие неоднородности экрана) флуктуационное поле вообще исчезает, так как столь мелкие неоднородности порождают за экраном только неоднородные (экспоненциально спадающие) волны.

Обратимся теперь к крупномасштабным неоднородностям граничного поля ( ). Такие флуктуации порождают бегу­щие волны, в силу чего они особенно важны в приложениях. Мы уделим им поэтому основное внимание.

В случае крупномасштабных флуктуации граничного поля двумерный спектр сосредоточен в узком интервале зна­чений Это позволяет разложить продольное волновое число в формуле (3.10) в ряд Тейлора по степеням и ограничиться двумя первыми членами:

Кроме того, не совершая заметной ошибки, можно раздвинуть пределы интегрирования в (3.10) до , и тогда

Нетрудно убедиться, что сделанные допущения эквивалентны использованию для поля френелевского приближения (2.17).

Положив в (3.12) , получаем поперечную функцию кор­реляции;

(см. (3.6)). Таким образом, поперечная функция корреляции волнового поля и равна функции корреляции граничного поля и не меняется при удалении от экрана. Тем самым и попереч­ный радиус корреляции такой же, как в плоскости экрана:

Сохранение поперечной функции корреляции означает сохранение и дисперсии ( ), и поперечной функции когерентности. В самом деле, учитывая закон изменения среднего поля (3.3), имеем для волны, не ог­раниченной в поперечной плоскости,

При отсюда вытекает постоянство средней интен­сивности при удалении от экрана:

Следует подчеркнуть, что сохранение при удалении от плоскости z = 0 не имеет места для статистически неоднород­ного экрана и для неплоской падающей волны, а более высокие моменты поля не сохраняются даже для плоской волны и ста­тистически однородного экрана.

Продольная функция корреляции получается из (3.12) при :

Заметное уменьшение модуля функции по сравнению с максимальным значением наступает при , когда подынтегральная экспонента начинает осциллировать в пределах интервала , в котором сосредоточен спектр . Отсюда можно оценить продольный радиус корреляции :

т. е. в раз больше поперечного масштаба . Можно сказать, что продольная корреляция флуктуации поля исчезает тогда, когда радиус первой зоны Френеля для отрезка становится больше попереч­ного радиуса корреляции: .

Прохождение плоской волны через фазовый хаотический экран. Так называют прозрачный экран с функцией пропускания , где S — вещественная случайная функция, т. е. экран модулирует только фазу, но оставляет неизменной амплитуду (и, следовательно, интенсив­ность) волны. В полупространстве z > 0 фазовый экран вызы­вает в прошедшей волне как фазовую, так и амплитудную моду­ляцию. Последнюю можно наблюдать, например, на листе бумаги при прохождении света через оптически неоднородное или не­ровное (скажем, обычное оконное) стекло, если отодвинуть бумагу на некоторое расстояние от стекла.

Фазовый экран часто используется в качестве модели для описания ряда явлений как в оптике, так и в радиофизике. Например, линза с оптическими неоднородностями модулирует главным образом фазу проходящей световой волны. Такое же действие оказывает ионосфера Земли на проходящие через нее радиоволны УКВ-диапазона. Модель фазового экрана применяют также (хотя и с меньшими основаниями) при анализе мерцаний радиоволн, посылаемых внеземными радиоисточниками и прохо­дящих через статистически неоднородную межпланетную или межзвездную среду.

Если на неограниченный плоский фазовый экран падает плоская волна , то граничное значение поля в плоскости экрана z = 0 равно

Выясним, как связаны статистические моменты поля прошедшей волны с функцией корреляции фазы

где —дисперсия, a — коэффициент корреляции фазы.

Предположим, что флуктуации S статистически однородны в плоскости z = 0, имеют нулевое среднее значение ( = 0) и под­чиняются нормальному закону распределения вероятностей.

Учитывая, что для нормального распределенной величины с справедлива формула находим

Но при = 0 средний квадрат разности фаз — это структурная функция фазы . связанная с корреляционной функцией соотношением (4.6). Поэтому

Среднее значение н поперечную функцию когерентности поля за экраном можно найти по формулам (3.3) и (3.14):

причем поперечная функция корреляции равна

Если флуктуации фазы на экране слабы ( ), то из (3.15) имеем

т. е. при малых флуктуациях фазы поперечная функция корре­ляции поля во всем полупространстве z > 0 совпадает с . В случае же больших дисперсий фазы ( ) среднее значе­ние поля пренебрежимо мало по сравнению с едини­цей, а величина заметно отличается от нуля только при малых . Учитывая это, пренебрежем в (3.15) членом и разложим коэффициент корреляции в ряд Тейлора.

Считая для простоты флуктуации фазы на экране изотроп­ными, имеем

где штрихом обозначено дифференцирование по (линейный по член в разложении (3.17) отсутствует, так как случайное поле фазы S( ) предполагается дифференцируемым, ). В ре­зультате получаем

где учтено, что значения в нуле вторых производных и отрицательны. Из (3.18) видно, что корреляция исчезает при , где корреляции фазы. Поэтому ля поперечного радиуса корреляции получаем оценку

Таким образом, при радиус корреляции примерно в раз меньше корреляционного масштаба фазы . Нетрудно понять, с чем связано это различие масштабов и .

При смешении вдоль экрана на расстояние порядка радиуса корреляции фаза S изменяется на величину , совершив при этом не более одной осцилляции. В то же время граничное поле испытывает на том же расстоянии примерно осцилляции, откуда и следует, что

Приведенные выше соотношения используются, например, при интерпретации данных о прохождении ультракоротких радиоволн от внеземных источников через ионосферу Земли, в которой имеются неоднородности электронной концентрации.

Флуктуации амплитуды и фазы за безгра­ничным фазовым экраном. Во многих приложениях, в частности в задачах радиосвязи и радионавигации, представляют самостоятельный интерес статистические характеристики ампли­туды и фазы волны. Для их вычисления кроме первой функции корреляции комплексного поля , кото­рая в случае плоской волны и статистической однородности экра­на не меняется при удалении от последнего, необходима и вторая корреляционная функция

Закон преобразования второй функции корреляции при/уда­лении от экрана можно получить при помощи френелевского приближения (2.17), которое применимо к полям именно с круп­номасштабными неоднородностями на границе. Используя (2.17) и опуская для краткости аргумент , находим

где – вторая корреляционная функция поля на экране. Введём новые переменные интегрирования и . Интеграл по легко вычисляется, при этом зависимость от из (3.19) выпадает и остаётся лишь в зависимости от . Переобозначив в оставшемся интеграле ξ через и через получаем

Таким образом, вторая корреляционная функция преобразуется почти так же, как и само поле: отличие от (2.17) заключается лишь в том, что в (3.20) входит удвоенное расстояние от экрана 2z.

Последующие выкладки упростятся, если вместо флуктуационной; части поля ввести вспомогательную случайную величину , которая представляет собой комплексную амплитуду флуктуации поля. Первая и вторая корреляционные функции этой величины преобразуются по формулам, аналогичным (3.13) и (3.20)

В отличие от (3.20), в (3.22) не входит множитель .

Рис. 2

Кроме того, удобно нормировать средний квадрат поля на экране к единице:

Такая нормировка отвечает непоглощающим и неотражающим экранам, поскольку падающая волна единичной интенсивности порождает за экраном волну с той же средней интенсивностью:

Это условие, очевидно, выполнено для чисто фазового экрана.

Свяжем теперь величину а с ам­плитудой А и фазой S волны , распространяющейся за экраном. Имеем

где без ограничения общности можно считать вещественной величиной. Разделяя а на вещественную (а') и мнимую (а") части, находим, что

откуда

На рис. 3 показаны соответствующие векторы на комплексной плоскости амплитуды U = Ae^iS.

Задача о нахождении из (3.24) статистических характеристик амплитуды А и фазы S решается до конца в двух частично пе­рекрывающихся случаях: при слабых флуктуациях поля на экране, когда и малы по сравнению с единицей, и во фраунгеферовой зоне, когда величины а' и а" распределены по нормальному закону. Эти случаи и будут рассмотрены ниже.

Исследуем сначала флуктуации амплитуды и фазы при слабых флуктуациях. Пренебрегая малыми членами порядка и , и учитывая, что в силу (3.23) , при помощи (3.24) получаем средние значения А и S:

а также выражения для корреляционных функций ( :

где — корреляционные функции вещественной и мнимой частей комплексного случайного поля а. В общей слу­чае они выражаются через первую и вторую функции корреляции и . Однако, если — четная функция , то справедливы более простые формулы (2.22):

Таким образом, посредством формул (3.25) и (3.26) первые два момента амплитуды и фазы выражены через первую и вторую корреляционные функции комплексного поля а. Последние же преобразуются при удалении от экрана в соответствии с выра­жениями (3.21) и (3.22).

В частном случае фазового экрана с начальной фазой S, рас­пределенной по нормальному закону, имеем

где — корреляционная функция фазы в плоскости z = 0. Для гауссовой корреляционной функции фазы

эти интегралы легко вычисляются и, в частности, при дают

где . Величину D называют волновым параметром. Этот параметр показывает во сколько раз площадь первой зоны Френеля превышает по порядку величины «площадь» одной неоднородности , т. е. сколько неоднородностей умещается в этой зоне. В зависимости от значения волнового параметра можно выделить три области дистанции z (которые тоже называют зонами): ближ­нюю ( ), френелевскую (D ~ 1) и фраунгоферову ( ) зоны (по отношению к отдельной неоднородности). Для каждой из них характерны определенные особенности флуктуации.

В ближней зоне ( ) преобладают, естественно, фазовые флуктуации: При удалении от экрана амплитудные флуктуации нарастают, а фазовые уменьшаются, причем в пре­деле (фраунгофером зона) дисперсии амплитуды и фазы выравниваются:

Корреляция между А и S пренебрежимо в ближней и дальней зонах и максимальна при D ~ 1.

Обратимся теперь к флуктуациям в зоне Фраунгофера ( ) при произвольных (не обязательно слабых) флуктуациях поля на экране. При в пределах первой зоны Френеля с ради­усом , которая только и существенна для интегрирования в (2.17), умещается много неоднородностей поля на экране. В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей закон распределения величин а' п а" приближается поэтому к нормальному.

Нормализация этих величин обусловлена «фильтрующим» дей­ствием свободного пространства и имеет такую же природу, как и нормализация временных сигналов на выходе узкополосных фильтров. Действительно, преобразование случайного поля по формуле (2.17) вполне аналогично преобразованию слу­чайных процессов, причем аналогом импульсной функции в на­шем случае является разностное ядро преобразования (2.17). которое и осуществляет фильтрацию с эффективной шириной полосы пространственных частот . С ростом дистанции z эта полоса сужается и при (т. е. в дальней зоне, ) становится значительно уже первоначальной ширины пространственного спектра . При этих условиях и про­исходит нормализация поля u(ρ ,z).

То обстоятельство, что а' и а" в дальней зоне распределены по нормальному закону, дает возможность найти плотности ве­роятностей амплитуды и фазы и вычислить моменты этих величин. По существу, речь идет о хорошо изученной задаче о статистке огибающей А и фазы S сигнала , представляющего собой сумму гармонического колебания и гауссова шума .

Для гауссовых величин закон распределения вероятностей полностью характеризуется только низшими моментами — средними значениями и функциями корреляции. В нашем случае , а функции корреляции и выражаются через первую и вторую функции корреляции комплексного поля а посредством формул (3.27). В зоне Фраунгофера эти формулы существенно упрощаются, поскольку при вторая корреляционная функ­ция пренебрежимо мала по сравнению с первой. В ре­зультате при имеем

т. е. в зоне Фраунгофера поля а’ и а" некоррелированы, а их автокорреляционные функции одинаковы и отличаются коэффи­циентом от первой функции корреляции поля на экране. Как следствие этого, функции и и связанные с ними стати­стические характеристики амплитуды и фазы не зависят от рас­стояния до экрана: с ростом дистанции z они остаются такими же, как на «входе» в дальнюю зону .

Флуктуации интенсивности за безгранич­ным фазовым экраном. При рассмотрении флуктуации интенсивности обычно интересуются их функцией корреляции (

и так называемым индексом мерцаний :

который характеризует относительные флуктуации интенсивности. Если принять, как и выше, что = 1,то

Как и при анализе амплитудных и фазовых флуктуации, рас­четы и удается довести до конца лишь в двух частично пересекающихся предельных случаях — для слабых флуктуации и для фраунгоферовой зоны.

Легко показать, что в случае слабых флуктуаций:

Таким образом, флуктуации интенсивности меняются при удалении от экрана по тому же закону, что и флуктуации амплитуды. При (зона Фраунгофера) стремится к предельному значению

независимо от вида функции корреляции фазы на экране.

При имеем

Для индекса мерцаний в дальней зоне ( ) получаем

Анализ флуктуации в общем случае наталкивается на значи­тельные математические трудности. Если флуктуации поля на экране не малы и точка наблюдения не удалена во фраунгоферову зону по отношению к отдельной неоднородности, то расчет индекса мерцаний сводится, в рамках френелевского приближе­ния (2.17), к вычислению интеграла

(3.39)

где

— смешанный момент четвертого порядка. Для произвольных функций значения интегралов вида (3.37) можно находить лишь численными методами. Рассмотрим полученные таким путем результаты для фазового экрана.

Если фазовые флуктуации распределены по нормальному за­кону, то

где — значения функции корреляции фазы S при , а дисперсия фазы. На рисунке показаны графики зависимости индекса мерцаний от волнового параметра для гауссовой функции корреляции фазы (3.30) и для значений дис­персии от 0,1 до 5.

Рис. 3

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Что представляет из себя безграничный хаотический экран.

2. Где применяется модель фазового экрана.

3. Чем характеризуются продольные и поперечные функции корреляции.

4. Напишите основные соотношения для продольной и поперечной функции корреляции.

5. Что такое волновой параметр, и какие зоны можно выделить, зная этот параметр.

6. Что такое индекс мерцаний, и что он характеризует.

7. Как себя ведёт индекс мерцаний в дальней зоне ( ).