Тема 2. Постановка задач статистической теории распространения волн.

Тематический план:

• Классификация статистических задач.

• Задачи распространения волн в случайно-неоднородных средах.

• Стационарные и квази-стационарные решения уравнений Максвелла для холодной плазмы.

• Два подхода к решению статистических задач распространения волн в случайно-неоднородных средах (построение решений для реализаций поля с последующим усреднением; переход непосредственно к уравнениям для моментов поля).

• Плоские волны в однородной среде.

• Разложение сферической волны по плоским волнам.

Учебная информация:

Классификация статистических задач. Среди разнообразных случайных полей, с которыми имеет дело статистическая радиофизика, волновые поля занимают цент­ральное место. Мы тоже сосредоточим внимание на волновых (в первую очередь электромагнитных) полях и ограничимся при этом только линейными и неквантовыми задачами. Весьма широкий класс таких задач можно сформулировать следующим образом.

Пусть распространение воли той или иной физической при­роды (электромагнитных, упругих, поверхностных и т. д.) опи­сывается линейным пространственно-временным оператором (обычно дифференциальным, реже — интегро-дифференцнзльным), так что волновое поле u удовлетворяет уравнению

где функция q(t, г) описывает источники волн. Поля и н q могут быть и многокомпонентными (в частности, векторными), и тогда — операторная матрица (в частности, тензор). Во многих зада­чах пространственная область, в которой рассматривается поле и, выделенная некоторой поверхностью S₀, не содержит источников (q = 0), а задано первичное волновое поле и₀, приходящее в эту область извне. Тогда уравнение (2.1) однородно:

но на S₀ заданы значения первичного поля (или его производ­ных), например:

(Обычно в этом случае говорят, что на S₀ заданы «виртуаль­ные» источники поля.) Искомым является здесь рассеянное или дифракционное поле, т. е. это задачи теории дифракции.

При наличии внутри поверхности S₀ границ раздела между разными средами или телами (поверхность раздела S) поле и должно удовлетворять еще определенным граничным условиям. Если поверхность S₀ не замкнута или же охватывает все про­странство, так что волны от реальных источников, расположен­ных в конечной области, могут уходить в бесконечность, то должны также выполняться известные условия излучения (на достаточно больших расстояниях от источников должны суще­ствовать только убегающие волны).

В задачах прикладного характера часто представляет инте­рес измерение излученного или дифракционного поля — для полу­чения информации об источниках поля, о рассеивающих телах или о среде, в которой распространяются волны. Тогда в опи­санную схему может быть включен еще приёмник излучения, а также разного рода помехи как внешнего (по отношению к приемнику), так и внутреннего происхождения. Отклик прием­ника w будет зависеть и от измеряемого поля и, и от помех ξ:

где — в общем случае нелинейный оператор.

Статистические волновые задачи ставятся теми же уравнениями и условиями, что и динамические, но теперь это будут стохастические уравнения и условия, т. е. уравнения и условия для отдельных реализаций случайного поля и. Другими словами, фигурирующие в задаче параметры, функции и операторы теперь случайны (все или их часть) и, соответственно, заданы своими распределениями вероятностей.

Поэтому гораздо большее разнообразие возможностей для про­странственно-временных полей (по сравнению с процессами во времени) в равной мере затрагивает как динамические, так и статистические задачи.

В соответствии с описанной постановкой динамической вол­новой задачи случайными могут быть

1) источники поля (реальные или виртуальные, так что можно различать заданную «статистику источников» q и «статистику первичного поля» v);

2) свойства среды (задана «статистика среды», а значит, опе­ратора ξ);

3) форма и положение границ раздела S (задана «статистика границ»);

4) условия приема и регистрации волн (заданы «статистика приемника» — оператора w и «статистика помех» ξ).

К этим четырем основным статистическим схемам, которые мы назовем первичными, фактически сводится постановка подав­ляющего большинства задач статистической волновой теории.

Чаще же всего мы не умеем находить точное решение при любых детерминированных функциях и, тем самым, при произвольных реализациях всех случайных величин и функций, в силу чего приходится уже на этапе решения дина­мической задачи обращаться к разного рода приближенным мето­дам. Эти разнообразные методы и приемы приурочены к конк­ретным особенностям задачи.

Выделенные выше четыре первичные статистические схемы отражают лишь фактически часто встречающееся разделение пара­метров и функций, входящих в условия задачи, на детермини­рованные и случайные. Остановимся коротко на этих схемах и укажем некоторые примеры относящихся к ним задач.

В схеме 1), если присутствуют реальные источники, мы имеем дело с неоднородным уравнением (2.1), в котором статистически задана правая часть q. Однородные граничные условия детермини­рованы. Задач такого типа много и в радиофизике, и в оптике, и в акустике. Они охватывают, в частности, статистическую теорию антенн и теорию тепловых флуктуации в распределенных системах.

Схема 2) охватывает проблему распространения и дифракции волн в случайно-неоднородных средах (случайный оператор ). Эти вопросы представляют большой интерес для радиосвязи, лазерной связи, гидроакустики, радиоастрономии, диагностики плазм и т. п..

К схеме 3) относятся волновые задачи при наличии тел имеющих случайную форму или занимающих случайное положение. Речь может идти, в частности, о граничных поверхности: со множеством случайных неровностей (так называемые шероховатые или статистически неровные поверхности).

Схема 4) охватывает многочисленные задачи приема и обработки информации о волновых полях при наличии помех. Если статистические свойства поля и, помех ξ и оператора , описывающего приемник, известны, то, в соответствии с (2.4), в принципе можно рассчитать статистические характеристики отклик; приемника w.

Задачи возбуждения полей случайными источниками (реальными или виртуальными), отнесенные нами к статистической схеме 1), принадлежат к тем весьма немногочисленным проблемам статистической волновой теории, которые допускают, по существу, универсальный подход. Это обусловлено тем, что поле и связано с источниками линейным детерминированным оператором, который, в принципе, может быть обращен.

Если бы мы располагали точным решением динамической задачи, например некоторым интегральным представлением иско­мого поля и в виде

где - решение неоднородного уравнения (2.1). То при возбуждении поля реальными источниками в силу (2.5) любые моменты поля могут быть получены усреднением произ­ведений вида и (1) и (2) . . . и(п) лишь по ансамблю случайных источников q. В частности, для двух низших моментов имеем

В случае виртуальных источников, когда в соответствии с (2.3) заданы значения v первичного поля (или его производ­ных) на некоторой поверхности S₀, а искомое поле выражается через v при помощи линейного детерминированного оператора :

искомые моменты u связаны с известными моментами о линей­ными соотношениями, подобными (2.1):

Соотношения вида (2.1) или (2.3), в принципе, дают полное решение статистических задач схемы 1), поскольку совокуп­ность всех статистических моментов однозначно определяет всю совокупность n-мерных плотностей вероятностей случайного поля. Однако эта формально простая процедура фактически реализуема крайне редко. Удобные для физического анализа выражения для моментов поля u в большинстве случаев удается получать только для низших моментов и лишь при использо­вании тех или иных приближений для обратных операторов или . Получение же плотности вероятностей поля осущест­вимо обычно лишь при условиях, когда применима центральная предельная теорема.

С необходимостью прибегать к различным приближениям мы сталкиваемся даже в простейшем случае скалярного волнового поля в однородной безграничной среде, когда мы располагаем сравнительно простыми точными выражениями для операторов или Приведем относящиеся к этому случаю и необходимые для дальнейшего динамические соотношения и выясним на при­мере скалярного поля ряд свойств случайных волновых полей.

В однородной и стационарной среде без дисперсии и погло­щения скалярное поле и удовлетворяет волновому уравнению

где с — скорость распространения волн, a q — поле случайных источников. Решение уравнения (2.4), удовлетворяющее усло­виям излучения на бесконечности, имеет, как известно, вид

где Это частный случай линейной связи (2.5) поля с источниками.

Во многих задачах удобнее рассматривать не само случай­ное поле u(t, r), а его спектральную амплитуду

которая, в силу (2.4), удовлетворяет уравнению

где — спектральная амплитуда q(t, r). Для спектральных амплитуд решение (2.5) принимает вид

Здесь введена функция Грина для неограниченной однородной среды

удовлетворяющая уравнению

При помощи (2.8) легко записать выражения для всех моментов поля. Если источники сосредоточены в ограниченной области, ска­жем в пределах сферы радиуса а, а нас интересует поле и в дальней (фраунгоферовой) зоне распределения источников, то формулы (2.5) и (2.8) упрощаются, так как можно воспользо­ваться приближенным выражением функции Грина. Пусть начало координат помещено в центр области, занятой источниками. Тогда при расстояние в формуле (2.9) можно приближенно заменить на в показателе экспоненты и на r в знаменателе, что и приводит к фраунгоферову прибли­жению. В этом приближении (2.8) принимает вид

где n = r/r единичный вектор в направлении на точку наблюдения.

Приведем теперь динамические соотношения для того случая, когда заданы виртуальные источники. Будем исходить из фор­мулы Грина, которая связывает спектральную амплитуду поля внутри области, ограниченной поверхностью S₀, со спект­ральной амплитудой граничного поля :

Здесь — расстояние от точки наблюдения до точки r', лежащей на поверхности S₀, no которой ведется интегриро­вание, а означает дифференцирование в направлении внеш­ней нормали N к S₀. Граничные значения и , как известно, должны быть заданы математически непротиворе­чивым образом. Поэтому двучленная формула Грииа (2.11) может быть использована лишь в тех случаях, когда из каких-либо дополнительных соображений вытекает связь (точная или при­ближенная) между граничным полем v и его нормальной произ­водной .

Особым является случай, когда поверхностью S₀ служит плоскость, замкнутая полусферой бесконечно большого радиуса. В этом случае, которым мы и ограничимся, двучленная фор­мула (2.11) сводится к одночленной.

Если на плоскости z = 0 задано само поле , где —двумерный вектор, то интеграл по бесконечно удаленной сфере обращается в нуль, и тогда в полупростран­стве z > 0

Таким образом, в случае плоской границы z=0 достаточно задания на S₀ либо самого поля и, либо его нормальной произ­водной .

Другой метод расчета полей в полупространстве z > 0 вос­ходит к Релею и основан на разложении полей по плос­ким волнам. Представим граничное поле двумерным интегралом Фурье:

где — двумерный волновой вектор, а -амплнтуда граничного поля, связанная с обратным пре­образованием Фурье:

В полупространстве z > 0 каждая пространственная гармо­ника граничного поля порождает плоскую соб­ственную волну (напомним, что множитель опущен), которая удовлетворяет волновому уравнению при условии, что

Таким образом, в случае волнового уравнения для однородной и изотропной среды дисперсионная поверхность пред­ставляет собой в четырехмерном пространстве трехмерный конус с осью по и вершиной в начале координат. В соответ­ствии с этим дисперсионный уравнением в свободной от источ­ников области z > 0 возможны при заданном к собственные волны двух типов — в зависимости от того, вещественна или мнима z-компоиента р волнового вектора k:

При компонента р вещественна и мы имеем бегущие волны. При , когда период осцилляции на границе меньше длины волны ­ , соответствующей частоте , ком­понента р мнима и получаются неоднородные волны. Они экспо­ненциально ослабевают с удалением от границы z = 0. Практически уже при остаются только бегущие волны.

Результирующее волновое поле , удовлет­воряющее граничному условию , выражается суперпозицией плоских воли обоих типов:

Аналогичное представление поля нетрудно записать и в том случае, когда на плоскости z=0 задана производная по нор­мали .

Формула Грина (2.12) и разложение по плоским волнам (2.15), разумеется, эквивалентны друг другу. В дальнейшем мы будем пользоваться той из них, которая быстрее ведет к окончатель­ному результату. Любая из них позволяет выразить моменты , через моменты .

При вычислении моментов поля при помощи приведенных выше формул часто приходится рассматривать те или иные част­ные случаи. Перечислим наиболее существенные из них. При , т.е. в волновой зоне, для ядра в формуле (2.12) имеем

При выполнении неравенств справедливо так называемое френелевское приближение, в кото­ром заменяется на в показа­теле экспоненты и на z в знаменателе предыдущей формулы; при этом формула Грина (2.12) принимает вид

Наконец, в зоне Фраунгофера, , где а — радиус области, в которой граничное поле отлично от нуля, имеем

Обратимся теперь к некоторым свойствам моментов и спект­ров волновых полей. Статистические моменты волновых случай­ных полей часто называют функциями когерентности, так как соответствующие коэффициенты корреляции служат количест­венной мерой когерентности этих полей. Тер­мины «время когерентности», «длина когерентности», «степень когерентности» являются в отношении волновых полей синони­мами «времени корреляции», «радиуса корреляции», «коэффи­циента корреляции».

Смешанный момент волнового поля порядка т + n (функция когерентности порядка т + п) определяется соотноше­нием вида

и вместо обычно обозначается . Корре­ляционная теория случайных волн ограничивается рассмотрением моментов лишь первого и второго порядков: среднего поля <u> (функции когерентности первого порядка ) и двух сме­шанных моментов второго порядка, называемых первой и второй функциями когерентности второго порядка:

Последние связаны с первой и второй функциями корреляции поля формулами

, здесь

Для зависимости волновых полей от времени мы примем комплексное представление в виде аналитического сигнала

где спектральная амплитуда тождественно равна нулю для отрицательных частот, а для равна удвоенной спект­ральной плотности исходного вещественного поля

Если поле является как функция t аналитическим сигналом и стационарно, то среднее значение поля <u> и его второй смешанный момент равны нулю.

Без предположения об аналитическом сигнале среднее зна­чение стационарного поля может быть отличным от нуля и представляет собой некоторую функцию только от r, удовлет­воряющую уравнению Лапласа . Так как такие стати­ческие детерминированные поля нас не интересуют, можно и в этом случае рассматривать только флуктуации и , т. е. считать, что . Что касается нестационарных и, в частности, монохроматических полей (~ ), то для них среднее поле и , вообще говоря, отличны от нуля.

Энергетические величины (интенсивность, плотность энергии, плотность ее потока) квадратичны по полю, в силу чего их средние значения можно выразить через статистические моменты первого и второго порядков.

Из высших моментов наибольший интерес представляет момент четвертого порядка через который выражается, в частности, корреляционная функ­ция флуктуации интенсивности комплексного поля :

причем . Если поле и нормально, то все высшие моменты выражаются через первый ( ) и вторые (Г и ) моменты. Функция корреляции интенсивности для этого случая приведена.

Выражения для моментов поля мы получали выше, исполь­зуя динамические решения для u. Как уже было отмечено, существует и другой способ нахождения моментов — из уравне­ний, которым подчиняются сами статистические моменты. В рас­сматриваемой задаче о возбуждении полей реальными источни­ками, которая в общем случае описывается уравнением (2.1) с детерминированным оператором и с детерминированными граничными условиями, уравнения для вторых моментов легко получить простым перемножением левых н правых частей (2.1), взятых в разных пространственно-временных точках. Так, вто­рой момент удовлетворяет уравнению

которое становится однородным в области, свободной от источ­ников.

В рамках схемы 1), когда динамическое решение задачи для поля и известно, находить моменты из уравнений типа (2.24) обычно гораздо менее удобно, чем по формулам типа (2.1) или (2.3). Волновые уравнения для моментов представляют здесь интерес, пожалуй, лишь в том отношении, что из них очевидны волно­вые свойства самих моментов и, соответственно, можно говорить о распространении и дифракции этих моментов почти в том же смысле, что и для поля и. Одно из важных волновых свойств статистических моментов поля и состоит в том, что их значения па некоторой поверхности S₀ определяют поведение моментов во всем объеме, ограниченном поверхностью S₀, подобно тому как это имеет место для самого поля.

В рассматриваемом случае волно­вого уравнения для однородной и стационарной среды дисперсион­ная гиперповерхность представляет собой конус или . Поэтому спектральная плотность в разложении Фурье корреляционной функции однородного и стационарного поля содержит множитель :

где — функция частоты и направления .

В коэффициенте при дельта-функции можно выделить мно­житель :

Величина носит название лучевой интенсивности, или яркости и играет большую роль в теории переноса излучения. Связь этой величины с функцией корреляции можно установить, подставив (2.25) в обобщение теоремы Хинчина:

и положив ( —элемент телесного угла). Выполнив интегрирование по х, получаем искомое соотношение ( _а, ):

Из последнего выражения видно, что лучевая интенсивность описывает распределение энергии по (положительным) частотам и по углам, т. е. представляет собой частотно-угловой спектр поля. В частности, изотропному полю отвечает лучевая интенсивность, не зависящая от углов.

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Перечислите четыре первичных схемы к которым сводятся большинство задач статистической волновой теории.

2. Запишите волновое уравнение для скалярного поля и в однородной и стационарной среде без дисперсии и погло­щения.

3. Как выражается корреляционная функ­ция флуктуации интенсивности комплексного поля через высший момент четвёртого порядка.

4. Какие допущения делаются при френелевском приближении.

5. Что такое зона Фраунгофера.

6. Что такое зона Френеля.

7. Как можно выразить корреляционную функ­цию флуктуации интенсивности комплексного поля через момент четвёртого порядка.