Тема 6. Метод плавных возмущений (метод с. М. Рытова).

План проведения занятий по теме:

• Закрепление теоретических навыков по теме «Метод геометрической оптики для сред с крупномасштабными случайными неоднородностями»;

• Отработка практических навыков вычисления функции Грина

• Развитие памяти и творческого мышления;

• Контроль знаний, умений и навыков студентов, который проводится в ходе занятия при оценке ответов у доски и во время устного опроса;

• По итогам занятия производится выдача задания для самостоятельной работы.

Вопросы и задания

Задача 1. Функция Грина G(t) удовлетворяет уравнению

и условию излучения на бесконечности. Вывести для G(r) двумерное спек­тральное разложение.

Решение. Подставив в (1) трехмерное разложение Фурье

получаем уравнение откуда следует, что

откуда следует, что

В знаменателе подынтегрального выражения введена бесконечно малая ( мнимая добавка, соответствующая затуханию волны ( ) и приводящая при вычислении интеграла (3) к функции Грина, отвечающей расходящимся волнам.

Если выполнить в (3) интегрирование по p, то мы получим искомое раз­ложение функции G (r) в двумерный интеграл Фурье. Рассмотрим интеграл по p:

Полюсы расположены как в верхней полуплоскости ( ), так н в нижней ( . Если z > 0, то контур интегрирования можно замкнуть бесконечной полуокружностью в верхней полуплоскости комплексного переменного р, и вычет в верхнем полюсе дает

причем

(выбор знака в нижнем равенстве обеспечивает выполнение условия как при , так и при . Подставляя (5) в (3), получаем, что при z > О

Аналогично вычисляется интеграл и при z < 0, когда вычет надо брать в по­люсе . Окончательная формула, охватывающая оба случаи, отличается от (6) заменой z на |z|.

Задача 2. Найти функцию Грина уравнения:

Решение. Будем искать решение уравнения

с начальный условием в виде двумерного интеграла Фурье

Подставляя в (1) такое же разложение и для функции

получаем

или

Умножая это уравнение на и интегрируя по z от 0 до z с учетом граничного условия , находим

Подстановка (4) в (2) дает

Чтобы получить окончательное выражение для Ф, надо воспользоваться обратным преобразованием Фурье для (вторая формула (3)):

Тема 7. Диффузионное Марковское приближение в теории распространения волн в случайных средах.

План проведения занятий по теме:

• Закрепление теоретических навыков по теме «Метод плавных возмущений (метод С. М. Рытова)»;

• Отработка практических нахождения распределения средней интенсивности по поперечному сечению пучка излучения;

• Развитие памяти и творческого мышления;

• Контроль знаний, умений и навыков студентов, который проводится в ходе занятия при оценке ответов у доски и во время устного опроса;

• По итогам занятия производится выдача задания для самостоятельной работы.

Вопросы и задания

Задание . Найти распределение средней интенсивности по поперечному сечению пучка излучения, у которого в плоскости z = 0: поле имеет вид

(гауссов пучок с эффективным радиусом а и с расстоянием от плоскости z = 0 до центра излучения, равным F. Рассмотреть частный случай, когда , что соответствует турбулентным флуктуациям диэлектрической проницаемости.

Решение. Средняя интенсивность может быть получена из функции Г при ρ = 0. На основании

имеем поэтому

Подсчитаем функцию , используя начальное условие (1) для поля:

Подставим (3) в (2) и выполним интегрирование по . В результате поду­шен формулу

где введено обозначение

Формула (4) справедлива при любой виде функции . Если , то

и формула (4) после перехода к полярным координатам принимает вид

Интеграл по равен , так что для получаем выражение

Введем — интенсивность на оси пучка в однородной среде, т. е. при = 0:

Отношение можно записать в виде

Если ввести безразмерную переменную интегрирования , то (7) запишется так:

Из (8) следует простая формула для интенсивности на оси пучка:

где

Параметр и пропорционален структурной функции фазы на базе . Разлагая или в ряды, нетрудно получить для разложения

Второе из них представляет собой асимптотическое разложение при больших и. График функции приведен, на рис. 1.

Рис. 1.

Интеграл от по поперечному сечению пучка ив зависит от z. Уменьшение средней интенсивности на оси пучка можно объяснить его уширением. Если определить эффективную площадь пучка при по­мощи равенства

то из закона сохранения будет следовать, что

Правая часть этого равенства не зависит от неоднородностей среды. Поэтому, если записать (12) для однородной среды, в которую посылает излучение тот же источник (т. е. то же распределение поля на плоскости z = 0), то мы получим равенство

где и — интенсивность на оси пучка и его эффективная площадь в однородной среде.

Из (12) и (13) следует, что

Если , то, согласно (11),