Тема 7. Диффузионное Марковское приближение в теории распространения волн в случайных средах.

Тематический план:

• Понятие вариационной производной. Вариационная производная линейного функционала. Дифференцирование произвольного функционала.

• Функциональный метод описания случайных полей

• Характеристический функционал. Характеристический функционал гауссовой случайной функции с нулевым средним значением.

• Вычисление моментов случайной функции функциональным дифференцированием характеристического функционала случайной функции.

• Переход от уравнения Гельмгольца к параболическому уравнению - введение "выделенной" переменной.

• Понятие случайного Марковского процесса.

• Уравнение для среднего поля в первом (диффузионном) Марковском приближении. Его решение.

• Границы применимости диффузионного Марковского приближения и уравнение второго Марковского приближения для среднего поля.

• Уравнение для пространственной функции когерентности в первом Марковском приближении. Его решение в виде интеграла Фурье по центральной поперечной переменной.

Учебная информация:

Во всех рассмотренных приближенных спосо­бах описания распространения волн в случайно-неоднородных средах использовалось предположение о малости флуктуации диэлектрической проницаемости. Оно либо лежало в самой ос­нове способа (метод малых возмущений для точного волнового уравнения), либо вводилось потому, что без него нельзя было продвинуться в решении приближенных уравнений (геометриче­ская оптика, метод плавных возмущений). Только при этом предположении удавалось выразить с помощью указанных ме­тодов в явном приближенном виде волновое поле в случайной среде или его амплитуду и фазу через . Для нахождения ста­тистических характеристик различных параметров волны надо было лишь выполнить усреднение полученных выражений или их комбинаций. Разумеется, использование в той или иной форме теории возмущений по е налагает на границы примени­мости этих методов довольно жесткие ограничения. Например, ни один из рассмотренных выше методов решения стохастиче­ского волнового уравнения не позволяет дать адекватное описа­ние сильных флуктуации волнового поля.

Для анализа физических задач, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений со слу­чайными коэффициентами, применяют аппарат марковских случайных процессов. При этом в ряде случаев можно по­лучить уравнения непосредственно для распределений вероят­ностей или для усредненных величин — моментов и т. п. В случае динамических систем, подверженных случайным параметрическим воздействиям, для применения аппарата марковских случайных процессов оказалось необходимым выпол­нение следующих условий.

Во-первых, должен выполняться принцип динамической при­чинности: решение в некоторый момент времени должно функ­ционально зависеть лишь от предшествующих по времени значе­ний случайных коэффициентов.

Во-вторых, время корреляции случайных воздействий (т. е. случайных функций, входящих в уравнения) должно быть малым по сравнению с наименьшим характерным временем отклика динамической системы. В этом случае возможна аппроксимация корреляционных функций случайных воздействий дельта-функциями от времени.

При выполнении обоих условий оказалось возможным полу­чить замкнутое уравнение для плотности вероятностей состояния динамической системы. При гауссовых дельта-коррелированных коэффициентах это было дифференциальное уравнение Эйнш­тейна—Фоккера. Если динамическая система к тому же линей­на, то можно получить замкнутые уравнения и для моментов.

Аппроксимация марковским случайным процессом использует, в отличие от теории возмущений, другой малый параметр — отно­шение , т. е. времени корреляции воздействий ко времени корреляции отклика . Нулевому приближению по этому пара­метру и отвечает марковское приближение. Для законности такой аппроксимации, разумеется, могут потребоваться также ограни­чения интенсивности флуктуации параметров, но возникающие при этом неравенства содержат и параметр , так что огра­ничения интенсивности флуктуации оказываются менее жесткими.

Можно ли применить теорию марковских процессов к задаче о распространении волн в случайно-неоднородной среде, т. е. к задаче о случайных полях?

Прежде всего, само понятие марковского процесса предпола­гает наличие упорядоченной переменной (аналогичной времени), без наличия которой невозможно формулировать основное свой­ство таких процессов — возможность представления многоточеч­ной плотности вероятностей в виде произведения вероятностей перехода. Ясно, что упорядоченную переменную можно ввести лишь в отношении одной координаты. Следовательно, можно надеяться описать распространение волны как марковский слу­чайный процесс либо в одномерной задаче (например, для слу­чайно-неоднородной слоистой среды), либо же в том случае, когда одна из координат физически выделена по отношению к другим (например, при распространении плоской волны или узконаправленного пучка излучения).

Далее, если из трех пространственных переменных удастся выделить одну, играющую в указанном выше смысле роль вре­мени, то по этой координате должно выполняться условие динамической причинности, т. е. рассматриваемое волновое поле должно функционально зависеть лишь от предшествующих (по данной координате) значений случайного параметра. В общем случае волновое поле не удовлетворяет этому требованию, так как в неоднородной среде присутствуют волны, рассеянные как вперед, так и назад, а наличие волн, рассеянных назад, обусловлено теми неоднородностями среды, которые расположены за точкой наблюдения.

Тем не менее для одномерного уравнения Гельмгольца

описывающего распространение скалярной волны в слоистой среде, можно ввести функцию

удовлетворяющую уравнению первого порядка

и «начальному» условию (т. е. граничному условию, например, при z = 0). В таком случае значения R (z) функционально за­висят лишь от при , так что условие причинности для R выполнено и эту функцию можно аппроксимировать мар­ковским случайным процессом, если радиус корреляции для достаточно мал.

Однако для волн в среде, содержащей трехмерные неодно­родности, не удается ввести аналогичную функцию, для которой выполнялся бы принцип причинности. Здесь переход к аппрок­симации распространения волны марковским случайным процес­сом возможен лишь в том случае, когда законно пренебрежение волнами, рассеянными назад.

Как мы установили, приближение параболического уравнения как раз и соответствует пренебрежению рассеянными назад волнами. Кроме того, в МПУ имеется физически выде­ленная координата — вдоль направления распространения волны, падающей на неоднородную среду. Таким образом, в приближе­нии параболического уравнения переход к аппроксимации рас­пространения волны в среде со случайными неоднородностями марковским процессом, вообще говоря, возможен, но необходимо еще предварительно выяснить, каково соотношение между характерными продольными масштабами флуктуации в и флуктуации волнового поля .

Существенное математическое отличие неодномерной задачи о распространении волн в случайно-неоднородных средах, заключается в том, что динами­ческое уравнение является теперь уравнением в частных произ­водных. Вместо случайной величины (или случайного вектора) мы имеем здесь при каждом фиксированном значении z двумер­ное случайное поле . Распределения же вероятностей случайного поля полностью задаются, как мы знаем, характерис­тическим функционалом. Поэтому уравнение Эйнштейна — Фоккера в интересующих нас случаях должно определять не функцию, а функционал. В связи с этим оно существенно слож­нее, чем для динамических систем с конечным числом степеней свободы: вместо уравнения в обычных частных производных оно оказывается уравнением с функциональными производными. Для того чтобы упростить свою задачу, мы ограничимся поэтому выводом уравнений для моментов поля .

Как мы убедились на примере динамических систем с конеч­ным числом степеней свободы, замкнутые уравнения для мо­ментов можно получить из уравнения Эйнштейна — Фоккера только в случае линейных систем. Поскольку параболическое уравнение (6.4) линейно, можно и здесь надеяться на получение замкну­тых уравнений для моментов. В отличие от (6.4), исходное уравнение МПВ (6.3) нелинейно, и поэтому получить из соот­ветствующего функционального уравнения Эйнштейна — Фоккера замкнутые уравнения для моментов комплексной фазы Ф не уда­ется (несмотря на то, что решение уравнения (6.3) для Ф удов­летворяет условию причинности).

Перейдем теперь к оценкам продольных радиусов корреляций флуктуаций различных параметров поля. При этом мы будем основываться на результатах, полученных в МПВ.

Продольный радиус корреляции флуктуации фазы и интен­сивности (или уровня) можно оценить, исходя из качественных соображений. Мы видели, что фаза волны определяется всеми неоднородностями, которые пересекает при­ходящий в точку наблюдения луч. Для оценки можно считать, что различные неоднородности вносят в фазу независимые вклады . Набег фазы вдоль луча, прошедшего через п неоднородностей, равен . Для другой точки наблюдения, лежащей на том же луче, набег фазы будет . Если n'> п, т о и, следовательно

поскольку при k > п. Коэффициент корреляции равен поэтому

Но , где z – длина дистанции, пройденной волной в неоднородной среде. Отсюда следует, что

. (7.1)

Эту формулу можно получить и более строго при помощи МГО или МПВ. Если зафиксировать и положить , то, согласно,

Таким образом, продольный радиус корреляции фазы имеет порядок величины r, т. е. он во много раз больше радиуса корреляции неоднородностей диэлектрической проницаемости. Но, как мы уже убедились ранее, это и есть то необходимое условие, которое позволяет переходить к приближению марков­ского случайного процесса.

Оценим теперь продольный радиус корреляции флуктуации уровня. Мы уже подсчитали порядок величины фокус­ного расстояния характерной неоднородности с размером , и отклонением диэлектрической проницаемости от среднего значе­ния, равным :

Если , то . В области применимости МПВ все «линзы» можно считать слабыми, т. е. . В этом случае к амплитудным флуктуациям допустимо применить те же сообра­жения, которые только что были использованы при опенке про­дольного радиуса корреляции фазы. Если же условие не выполняется, то точка наблюдения может попадать в область фокусировки излучения, где флуктуации интенсивности не малы.

Однако при мы имеем и в этом случае так что протяженность по оси z «области влияния» каждой неоднород­ности намного превышает размер самой неоднородности.

Анализируя амплитудные флуктуации, следует учесть и тот случай, когда размер неоднородностей мал по сравнению с ра­диусом первой зоны Френеля: . Здесь уже нельзя использовать геометрическую оптику, а необходимо привлечь для оценок основные положения теории дифракции. Как мы знаем, дифракция на неоднородности размера начинает суще­ственно проявляться на расстоянии порядка от нее. Поэтому фокусирующее действие неоднородностей возможно лишь на расстояниях, не превышающих . Таким образом, «область влияния» неоднородности имеет продольный масштаб и усло­вие , при котором можно использовать приближение мар­ковского случайного процесса, принимает вид , т. е.

Как мы видим, для слабых флуктуации и крупномасштабных неоднородностей продольный радиус корреляции амплитудных флуктуации оказывается во всех рассмотренных случаях боль­шим по сравнению с размерами неоднородностей, что и необхо­димо для применимости приближения марковского случайного процесса.

Разумеется, приведенные качественные соображения не могут служить строгим обоснованием марковского приближения. Все же следует подчеркнуть, что нам нигде не пришлось делать предположение о малости флуктуации амплитуды волны. Поэтому можно надеяться, что марковское приближение окажется пригодным и для описания сильных флуктуации поля, если только допустимо пренебречь волнами, рассеянными назад.

Используем аппроксимацию корреляционной функции дельта-функцией:

и было показано, что подстановка вместо приводит при расчете спектров флуктуации амплитуды и фазы к правильным результатам, если выполнены условия

Поскольку корреляционная функция связана с двумер­ной спектральной плотностью формулой

легко установить, что замена (7.3) эквивалентна следующей замене корреляционной функции:

где

(в силу четности А(ρ) можно использовать любой знак показа­теля экспоненты).

Рассмотрим интеграл от по продольной координате ξ. Используя трехмерное спектральное разложение

и интегрируя его по ξ в бесконечных пределах, получаем

С другой стороны, интеграл по ξ от аппроксимирующей корре­ляционной функции тоже дает функцию , так что справедливо равенство

В дальнейшем часто будет встречаться комбинация

Функция зависит от двумерного вектора ρ и выражается при помощи двумерного преобразования Фурье через трехмерную спектральную плотность .

Если случайное поле является гауссовым, то для его полного статистического описания достаточно задания корреля­ционной функции и, в частности, эффективной корреляционной функции вида (7.4). Однако если не предполагать нормальности поля , то необходимо задавать и более высокие моменты

Для гауссова поля из дельта-коррелированности по z вытекает, что при любых случайные величины и статистически независимы. Но для негауссовых полей некоррелированность еще не влечет за собой независимости. Оказывается, что для негауссовых полей условие, ана­логичное (7.4), при котором для моментов случайного волнового поля можно получить замкнутые уравнения, формулируется следующим образом. Пусть и удовлетворяют при любых i, j условиям

Тогда совокупности случайных величин и должны быть статистически независимы. Аналогом дельта-коррелированности здесь является то, что при любом сколь угодно малом «зазоре» между переменными обеих групп уже наступает их полная статистическая независимость.

Известно, что совместные кумулянты для нескольких случай­ных величин обращаются в нуль, если среди этих величин имеется хотя бы одна, статистически независимая от остальных. Поэтому совместные кумулянты для и должны обращаться в нуль. С другой стороны, для негауссовых случай­ных величин высшие кумулянты должны быть отличными от нуля. Отсюда следует, что кумулянты для случайных величин должны иметь вид дельта-функций по переменным z_i:

удовлетворяющие этому условию, мы и будем называть дельта-коррелированными по z.

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Какой малый параметр используется при аппроксимации марковским случайным процессом.

2. Сформулируйте принцип динамической при­чинности.

3. Математическое отличие неодномерной задачи о распространении волн в случайно-неоднородных средах.

4. Пригодно ли марковское приближение и для описания сильных флуктуации поля.

5. Границы применимости марковского приближения.

6. Записать продольный радиус корреляции фазы.

7. Можно ли применить теорию марковских процессов к задаче о распространении волн в случайно-неоднородной среде.