Тема 6. Метод плавных возмущений (метод с. М. Рытова).

Тематический план:

• Уравнение для комплексной фазы поля. Его решение методом теории возмущений.

• Выражение для комплексной фазы в первом приближении метода плавных возмущений (МПВ).

• Случай однородной в отсутствии флуктуаций (фоновой) среды.

• Переход к рассеянию вперед в приближении дифракции Френеля (квадратичному приближению в фазе).

• Вывод приближения геометрической оптики (в смысле теории возмущений в геометрооптических уравнениях) из приближения МПВ и границы применимости метода геометрической оптики.

• Флуктуации уровня и фазы поля в первом приближении МПВ.

• Средние значения уровня и фазы, их корреляционные функции, дисперсии.

• О границах применимости МПВ.

• Среднее поле в приближении МПВ.

• Индекс мерцаний в приближении МПВ.

Учебная информация:

Мы уже говорили о том, что в случае длин волн λ, малых по сравнению с размерами неоднородностей диэлектрической проницаемости, рассеянные волны концентрируются в узком те­лесном угле с раствором θ порядка , т. е. распростра­няются практически в том же направлении, что и первичная волна. В силу этого становится существенным многократное рас­сеяние.

Одним из приближенных методов, учитывающих многократное рассеяние, является метод геометрической оптики, но он полностью игнорирует дифракционные эффекты и ограничен усло­вием . Если это условие нарушается, т. е. расстояние L, проходимое волной в неоднородной среде, достаточно велико: , дифракционные эффекты становятся сущест­венными. Это можно пояснить следующим качественным рассу­ждением. Если неоднородность размера освещается плоской волной, то и размер ее геометрической «тени» на любом расстоя­нии L равен . Однако дифракция приводит к «расплыванию» резких границ тени на величину порядка (это размер пере­ходной области свет — тень при дифракции на краю непрозрач­ного экрана). Ясно, что дифракцией можно пренебречь лишь при условии (см. (5.10)). Это условие зачастую до­вольно жестко ограничивает длину трассы L.

Будем исходить из скалярного уравнения Гельмгольца

где — квадрат среднего волнового числа (предпола­гается, что ), а - относительная величина флуктуации диэлектрической проницаемости, так что < > = 0. Приведем сначала простейший вывод параболического уравне­ния, основанный на наглядных соображениях.

Пусть неоднородная среда нанимает полупространство z > 0 и на него падает плоская волна . Так как мы предположили, что , то рассеянные волны распростра­няются в основном вперед, и волна, отраженная от неоднородной среды, слаба по сравнению с падающей волной. Будем искать поле и в среде в виде

Здесь — амплитуда волны (вообще говоря, комплексная). Если бы среда была однородной ( = 0), то амплитуда не за­висела бы от координат. В неоднородной среде можно ожидать, что функция и ее производная по z будут мало меняться на протяжении длины волны, так как изменения связаны только с наличием неоднородностей, а их размеры велики по сравнению с λ. Поэтому должны выполняться условия

или

(быстрое изменение и в зависимости от z уже описывается мно­жителем exp(ikz)). Условия (6.3) могут выполняться лишь в том случае, когда иоле, рассеянное назад, мало. Действительно, если поле и содержит и обратную волну Aexp(-ikz), то это означает, что в амплитуде и присутствует слагаемое вида Aexp(-2ikz), быстро меняющееся на расстояниях порядка λ. Таким образом, условия (6.3) уже предполагают, что ампли­туда А обратной волны достаточно мала по сравнению с ампли­тудой прямой волны.

Подставив (6.2) в (6.1), получаем уравнение

Но в силу второго неравенства (6.3) можно пренебречь членом по сравнению с членом , что и приводит к па­раболическому уравнению для амплитуды:

Рассмотрим другой его вывод, где более отчетливо выявятся те величины, которыми нужно пренебречь, чтобы получить (6.4) из (6.1).

Уравнение (6.1) вместе с необходимыми для него граничными условиями эквивалентно следующему интегральному уравнению:

Здесь — первичная волна (волна в отсутствие неоднородностей среды), удовлетворяющая уравнению , — функция Грина:

удовлетворяющая уравнению и условиям излучения на бесконечности.

Пусть падающая волна имеет вид . Разо­бьем область интегрирования по z' в (6.5) на два участка — и :

Рассмотрим первый из интегралов. Он является суммой слагае­мых вида

причем для каждого из этих слагаемых z > z'. Величина du₊ представляет сферическую волну (множитель G (r—r')) с центром в точке r' и амплитудой — , определяемой рас­сеянием волны u(r') на неоднородности . При этом продольная координата точки рассеяния z' всегда меньше z — продольной координаты точки наблюдения. Это означает, что все источники сферических волн в первом интеграле (6.7) расположены в слое 0 < z' < z, т. е. рассеянные волны, учитываемые этим слагаемым, приходят в точку наблю­дения с тон же стороны, что и падающая волна.

Рис. 7

Точно так же легко убедиться о том, что вто­рой интеграл в (6.7) сум­мирует все волны, прихо­дящие в точку г из области z' > z. Ясно, что для того, чтобы попасть в точку z из области z' > z, волна хотя бы один раз должна испытать рассеяние назад (рис. а).

Если, однако, выпол­няется условие , то, как мы знаем, при каждом акте рассеяния основная часть рассеянной энергии сосредоточивается в узком телесном угле вблизи пер­воначального направления распространения волны. В этом случае можно ожи­дать, что интенсивность волны, испытавшей хотя бы одно обратное, рассея­ние, будет малой по сравнению с интенсивностью волны, которая испытала тоже общее число рассеяний вперед. На этом основании мы можем пренебречь вто­рым слагаемым в уравнении (6.7) и записать его в виде

В приближении, описываемом уравнением (6.8), которое должно удовлетворяться при любом z = z, в каждую точку приходят волны только из области z' < z. Это означает, что при переходе от уравнения (6.7) к уравнению (6.8) мы отбрасываем не только волны, изображенные на рис. а, но и волны того типа, кото­рый изображен на рис. б, где волна приходит справа в одну из промежуточных точек z₁. Единственный тип волн, который учитывается в уравнении (6.8), соответствует рис. в. Здесь не только в точку г, но и в каждую из промежуточных точек волна приходит слева. В этом легко убедиться, если записать формальное решение уравнения (6.8) в виде итерационного ряда. Таким образом, уравнению (6.8) удовлетворяют лишь те волны, которые на пути распространения в слое (0, z) не испытали ни одного акта обратного рассеяния. Это отмечено верхним индек­сом 0 в обозначении u⁽⁰⁾ .Можно показать, что полное полко­вое поле и разбивается на сумму полей , где — волна, испытавшая l актов обратного рассеяния.

Уравнение (6.8) можно упростить и дальше, если более после­довательно учесть условие . Как мы знаем, характерный угол рассеяния на неоднородности масштаба имеет порядок . Если первоначально падающая волна распространялась вдоль оси z, то после первого же акта рассеяния она будет рас­пространяться под углом порядка θ к оси z. Это означает, что в (6.8) отношение поперечной составляющей вектора r—r' к его, продольной составляющей имеет порядок величины θ, т. е.

Используя малость этого отношения, можно применить раз­ложение в ряд Тейлора:

Функция Грина G содержит в показателе экспоненты фазовый набег k|r—r'|. Подставить вместо |r—r'| приведенное разложе­ние и ограничиться в нем лишь первыми двумя членами можно, если выполняется условие

Если, согласно (6.9), подставить сюда , то мы приходим к ограничениям

при выполнении которых функцию Грина (6.6) можно заменить на ее френелевское приближение

(В знаменателе функции Грина с относительной ошибкой порядка „ сказывающейся лишь на амплитуде, можно взять только пер­вый член разложения (6.10).)

Подставляя в (6.8) приближенную формулу (6.12) для функ­ции Грина, приходим к уравнению

которое уже эквивалентно параболическому уравнению (6.4). Чтобы убедиться в этом, используем аналогичную (6.2) подста­новку . В такой же форме представим и падающую волну: . Отметим, что в силу уравнения амплитуда падающей волны удовлетворяет условию , где . Тогда, после сокращения на общий множитель ехр(ikz), получим

Чтобы перейти к дифференциальному уравнению для , следует продифференцировать (6.13) по z. При дифференцировании ин­теграла по верхнему пределу возникает, однако, неопределен­ность — значение заключенного в квадратные скобки выражения при z’ = z. Чтобы установить, к чему стремится это выражение, введем временно обозначение . Тогда оно при­мет вид

и мы узнаем в нем двумерную гауссову плотность вероятностей, соответствующую дисперсиям а по обеим осям. Но при а → 0 гауссова плотность вероятностей стремится к дельта-функции, так что

Дифференцируя (6.13) по z и используя последнюю формулу, получаем

Теперь учтем, что выполняется легко проверяемое непосред­ственным дифференцированием соотношение

Используя его и вынося оператор за знак интеграла, полу­чим, с учетом (6.13), уравнение

Но, как отмечалось, , в силу чего последнее уравнение совпадает с параболическим уравнением (6.4).

В процессе вывода уравнении (6.14) мы установили, что переходить в (6.8) ко френелевскому приближению для функции Грина можно лишь при выполнении условий (6.11). Однако мы не выяснили еще, когда можно пренебрегать волнами, рассеян­ными назад. Легче всего это сделать, воспользовавшись форму­лой для эффективного поперечника рассеяния из единицы объема (мы рассматриваем простейший случай статистически изотропных флуктуаций):

Если проинтегрировать (6.15) по задней полусфере ( , ), то мы получим эффективный поперечник рассеяния назад из единицы объема:

Интегрируя по и вводя вместо новую переменную интегри­рования, , находим

Эффективный поперечник равен той доле энергии падающей волны, которая за счет рассеяния преобразуется в обратную волну, когда примам волна проходит единичное расстояние. Если пренебречь уменьшением энергии падающей волны за счет этого рассеянии, то на пути z в энергию обратной волны перейдет доля энергии, равная (заметим, что, пренебрегая потерями энер­гии прямой волны, мы завышаем энергию обратной волны). Поэтому условие, необходимое дли того, чтобы пренебречь обрат­ным рассеянием и тем самым отбросить второй интеграл в (6.7), можно записать в виде , или

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если бы мы интегрировали формулу (6.15) по всем углам ( ), то получили бы полный эффективный поперечник рассеяния (по всем направлениям) и вместо (6.17) пришли бы к неравенству

т. е. к условию применимости борцовского приближения. Мы ви­дим, что условие (6.17) всегда является менее жестким, чем (6.18). Если в области функция мала по срав­нению с ее значением в области , то условие (6.18) может нарушаться, даже если (6.17) выполняется.

Пусть, например, . Тогда и, выполняя интегрирование в (6.17), получаем

Условие же применимости борновского приближения в этом случае имеет вид

Если (крупномасштабные неоднородности), то условие (6.18а) будет , тогда как из (6.17а) получаем , т. е. параметр ограничен сверху не единицей, а большим числом .

С другой стороны, если выполняется условие применимости борновского приближении (6.18), то заведомо выполняется и условие (6.17). В этом случае пренебрежимо мала роль много­кратного рассеянии вообще, в том числе и роль обратного рас­сеяния.

Параболическое уравнение (6.4)

определяющее комплексную амплитуду v, связанную с волновым полем и формулой , в общем случае, как к исходное уравнение Гельмгольца (6.1), не может быть решено точно. Поэтому и для уравнения (6.18) приходится использовать приближенные методы решения. Рассмотрим так называемый метод плавных возмущений (МПВ), предложен­ный С. М. Рытовым в детерминированной задаче о дифракции света на ультразвуковой волне и примененный для решения статистических задач А. М. Обуховым. МПВ приспособлен в первую очередь для исследования таких параметров волны, как ее фаза и уровень.

Представим комплексную амплитуду в виде

откуда . Здесь S' = S — kz —отклонение фазы от регулярного ее набега kz в отсутствие неоднородностей, а — уровень. Таким образом,

Подставив (6.20) в (6.19), получим уравнение

для комплексной фазы Ф. Уравнение (6.21), в отличие от (6.19), нелинейно, но случайная функция входит в него не в качестве коэффициента, а аддитивно.

Будем искать решение уравнения (6.3) в виде ряда

предполагая, что Ф₁ имеет порядок малости — по­рядок и т. д. Подставив (6.22) в (6.21) и приравнивая нулю группы членов одинакового порядка малости, получаем следую­щую систему уравнений последовательных приближений:

Рассмотрим при помощи этих уравнений задачу о флуктуациях уровня и фазы волны в статистически однородной случай-вой среде, заполняющей полупространство z > 0, если из области z < 0 на нее падает плоская, волна . Поскольку мы пренебрегли обратным рассеянием, на границе z = 0 должно быть непрерывным только поле и, но не ди/дz:

Таким образом, граничные условия ко всем уравнениям (6.23) имеют один и тот же вид:

а сами уравнения различаются только правыми частями. Поэтому решение любого из этих уравнений можно представить в виде

где К — функция Грина оператора , — правая часть соответствующего уравнения для Ф_i.

Фактически удается вычислить лишь несколько первых чле­нов ряда (6.22) (обычно используется только первое приближение, а следующий член Ф, служит лишь для оценки погрешности). Для того чтобы Ф мало отличалось от Ф₁. необходимо, чтобы правые части уравнений (6.23) достаточно быстро убывали с ростом номера i, т. е. необходимо потребовать выполнения неравенства

Условие (6.25) означает, что изменения Ф₁ на поперечных расстояниях порядка длины волны λ должны быть малыми по сравнению с (сама величина Ф₁ имеет тот же порядок малости, что и ). Таким образом, условие (6.25) требует достаточной плавности изменения Ф₁. В связи с этим и сам метод, основан­ный па использовании теории возмущений для комплексной фазы Ф₁ получил название метода плавных возмущений (МПВ).

Входящая в (6.24) функции Грина имеет вид

Она отличается от функции Грина уравнения Гельмгольца, взя­той в приближении Френеля, лишь отсутствием множителя ехр (ik(z—z')).

В дальнейшем вместо формулы (6.6) мы будем пользоваться соответствующей формулой, связывающей трансформанты Фурье по поперечным координатам:

Эквивалентная (6.6) формула имеет вид

Рассмотрим первое приближение Ф₁. Согласно (6.5а) и из (6.27) получаем (опустим индекс 1 в )

где — случайная двумерная амплитуда Фурье диэлектри­ческой проницаемости . Перейдем теперь к уровню и фазе .

Так как

можно написать

причем спектральные амплитуды урони я и фазы выражаются через следующим образом:

Найдем . Так как поле вещественно, имеем , и поэтому из (6.28) получаем

Подставляя (6.28) и (6.30) в (6.29), находим

Усредняя эти формулы, получим (здесь мы вос­становили индекс 1, так как средние значения уровня и фазы равны нулю только в первом приближении). Во втором прибли­жении в формулах, аналогичных (6.31) и (6.32), вместо , фигурировала бы спектральная плотность величины , среднее значение которой не равно нулю. Тем самым и величины и оказались бы отличными от нуля. На вычислении этих средних мы остановимся позднее. Если же нас интересуют средние квадратичные величины, например , то формулы (6.31) и (6.32) достаточны для их расчета (учет членов второго порядка в привел бы к членам третьего порядка малости в <χ²>, малым но сравнению с основ­ным членом).

Рассмотрим корреляционную функцию уровня χ в плоскости z = const. Из (6.29) имеем

Таким образом, для расчета необходимо знать функцию кор­реляции спектральных компонент, входящую в (6.17). Исполь­зуя (6.15), получаем

Но для статистически однородной случайной среды справедлива формула

где двумерная спектральная плотность сосредоточена в области

Из (6.25) и (6.24) следует, что

где

Эта формула связывает двумерные плотности флуктуаций уровня и флуктуаций .

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Записать скалярное уравнение Гельмгольца.

2. В каком случае становится невозможно пренебречь дифракционными эффектами.

3. Что такое обратное рассеянье.

4. При каком условии можно пренебречь обрат­ным рассеянием.

5. Границы применимости метода плавных возмущений.

6. Записать параболическое уравнение.

7. Условия при которых становится заметным многократное рассеянье.