МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ, НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
Криворізький національний університет
КАФЕДРА ІНФОРМАТИКИ ТА ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ
Звіт
З лабораторної роботи з курсу чисельних методів на тему: «Розв’язування рівнянь із одним невідомим»
Виконав:
студент 3-ого курсу
групи І-09
Ремесло Вячеслав
Кривий Ріг
2012
Завдання:
Уточнення коренів рівняння методом половинного ділення, методом січних та методом дотичних.
1. Метод половинного ділення
Для обчислень методом половинного ділення використовуємо таблицю:
-
A
B
c
y(c)
y(a)
A1
B1
C1
D1
E1
ЕСЛИ($E$1*D1>0;C1;A1)
ЕСЛИ($E$1*D1>0;B1;C1)
↓
↓
↓
A1=a
B1=b
C1=(A1+B1)/2
D1=f(C1)
E1=f(A1) // Як зрозуміти
Теоретичне обґрунтування:
Нехай дано рівняння f(x)=0. Необхідно знайти його корінь з точністю eps на відрізку [a,b], на якому функція безперервна і у кінцях має значення різних знаків, тобто f(a)×f(b)<0. Таким чином, згідно теореми 1, на цьому відрізку існує хоча б один розв’язок рівняння.
З находиться середина відрізку [a,b] точка с (рис. 3.2). Корінь може опинитись на відрізку [a,с] або на [с,b], чи співпасти з с. В останньому випадку метод припиняє роботу, інакше за допомогою перевірки виконання умов f(a)×f(c)<0 і f(c)×f(b)<0 з’ясовується, на якій частині відрізку залишився корінь. Далі процедура повторюється для тієї половини відрізку, на якій є корінь, доки відрізок не зменшиться настільки, що його довжина буде менше від заданої похибки.
Рисунок 1.1 – Метод половинного ділення (функція опукла вгору)
Рисунок 1.2 – Метод половинного ділення (функція опукла донизу)
2. Метод дотичних
Для обчислень методом дотичних використовуємо таблицю:
X |
f(x) |
f'(x) |
A2 |
B2 |
C2 |
A2-B2/C2 |
↓ |
↓ |
A2=x
B2=f(x)
C2=f’(x)
Теоретичне обгрунтування:
Метод Ньютона ( також метод дотичних, метод Ньютона — Рафсона) — метод наближеного знаходження кореня дійсного рівняння:
f(x) = 0
де f диференційовна функція. Послідовні наближення методу Ньютона обчислюються за формулами
Узагальнення і варіації методу використовуються для обчислення коренів системи нелінійних рівнянь, знаходження екстремуму функції, обчислення коренів комплексного рівняння.
Обґрунтування методу
Розкладаючи в околі початкового наближення x0 функцію f в ряд Тейлора і відкидаючи члени порядку вище 1, одержуємо наближену рівність, справедливу в деякому околі x0:
Рисунок 2.1 – Метод січних
Ілюстрація методу Ньютона (синім зображена функція , нуль якої необхідно знайти, червоним — дотична в точці наближення
Оскільки шукається корінь f(x) то в лівій стороні формули можна поставити 0, і перше наближення:
одержується внаслідок елементарних перетворень.
Можна також дати геометричну інтерпретацію. Основна ідея методу полягає в наступному: задається початкове наближення поблизу кореня, після чого будується дотична до досліджуваної функції в точці наближення, для якої знаходиться перетин з віссю абсцис. Точка перетину і береться як наступне наближення. І так далі, поки не буде досягнута необхідна точність. Формула наближення може бути виведена таким чином:
де α — кут нахилу дотичної в точці
Отже шуканий вираз для має вигляд: