Линейная зависимость систем векторов

Система ненулевых векторов линейного пространства называется линейно зависимой, если существуют числа , среди которых есть хотя бы одно отличное от нуля, причем выполняется равенство

. (1.1)

Система ненулевых векторов линейного пространства называется линейно независимой, если равенство (1.1) выполняется только при всех значениях , равных нулю одновременно.

Если система векторов – линейно зависима, то хотя бы один вектор есть линейная комбинация остальных векторов:

.

Задание 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов . В случае линейной зависимости выразить какой-нибудь вектор через остальные векторы системы.

2.1. , , , .

2.2. , , ,

.

2.3. , , ,

.

2.4. , , ,

.

2.5. , , , .

2.6. (3, –4, 1, 2), (1, –1, –1, –1), (4, –3, 1, 2), (1, –6, 1, 2).

2.7. (1, –1, 2, –1), (2, 3, –1, 2), (4, 1, 3, 1), (–1, –9, 8, –7).

2.8. , , ,

.

2.9. , , , .

2.10. , , ,

.

2.11. .

2.12. , , ,

.

2.13. , , ,

.

2.14. , , ,

.

2.15. (4, 3, –1, 1), (2, 1, –3, 2), (1, –3, 0, 1), (1, 5, 2, –2).

2.16. , , , .

2.17. , , ,

.

2.18. .

2.19. , , ,

.

2.20. , , , .

Базис и размерность линейного пространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (ослау)

Дана ОСЛАУ вида

, (1.2)

где , ( , ), .

Пусть общее решение системы (1.2) можно представить в виде

(1.3)

где – базисные переменные ( , –

свободные переменные, – произвольные константы).

Фундаментальная система решений (ФСР) вида

является базисом линейного пространства решений системы (1.2). Размерность этого пространства равна . В этом случае есть линейная оболочка пространства решений.

Задание 3. Найти базис и размерность линейного пространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений, написать линейную оболочку пространства решений.

3.1.	3.2.
3.3.	3.4.
3.5.	3.6.
3.7.	3.8.
3.9.	3.10.
3.11.	3.12.
3.13.	3.14.
3.15.	3.16.
3.17.	3.18.
3.19.	3.20.

Формулы перехода от базиса к базису. Формулы преобразования координат при переходе от базиса к базису

Пусть , – базисы в пространстве . Каждый вектор базиса разложим по векторам базиса в виде:

(1.4)

или в матричной записи

. (1.5)

Система (1.4) [или система (1.5)] называется формулой перехода от базиса к базису . Матричную запись (1.5) удобно записать в виде

,

где – матрица перехода от базиса к базису , являющаяся неособенной матрицей. Формула называется формулой перехода от базиса к базису .

Если , – координаты одного и того же вектора в базисах и соответственно, то ,

. (1.6)

Равенство (1.6) называется формулами преобразования координат при переходе от базиса к базису. Оно позволяет найти координаты вектора в базисе через координаты вектора в базисе .

Задание 4. Дана система векторов , , в пространстве .

1. Доказать, что она является базисом, написать матрицу перехода от стандартного базиса , , пространства к базису , , .

2. Написать формулы преобразования координат при преобразовании базиса. Найти координаты вектора в базисе , , .

4.1.	, , .
4.2.	.
4.3.	.
4.4.	.
4.5.	.
4.6.	.
4.7.	.
4.8.	.
4.9.	.
4.10.	.
4.11.	.
4.12.	.
4.13.	.
4.14.	.
4.15.	.
4.16.	, , .
4.17.	, , .
4.18.	.
4.19.	.
4.20.	.

Задание 5. Пусть , , – координаты вектора в базисах , , соответственно.

1. Найти матрицу перехода от к , написать формулы преобразования координат при переходе от базиса к базису.

2. Найти матрицу перехода от к , написать формулы преобразования координат при переходе от базиса к базису.

3. Найти координаты вектора в базисах , , если он задан своими координатами в базисе .

5.1.	5.2.
5.3.	5.4.
5.5.	5.6.
5.7.	5.8.
5.9.	5.10.
5.11.	5.12.
5.13.	5.14.
5.15.	5.16.
5.17.	5.18.
5.19.	5.20.