Тема №1. Линейные пространства Теоретические вопросы темы

1. Линейные пространства (ЛП): определение (аксиомы). Примеры ЛП.

2. Линейная зависимость, независимость системы векторов в ЛП. Основные теоремы (свойства).

3. Базис, размерность ЛП, разложение вектора по векторам базиса. Базис и размерность ЛП решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (ОСЛАУ).

4. Переход от базиса к базису, свойства матрицы перехода. Формулы замены координат при переходе к новому базису.

5. Подпространства линейных пространств.

6. Сумма и пересечение подпространств. Линейная оболочка, свойства.

7. Евклидовы пространства: определение (аксиомы). Норма вектора. Неравен­ства Коши-Буняковского.

8. Ортонормированная система векторов, ее свойства. Процесс ортогонализации базиса ЛП.

9. Ортогональное дополнение, его свойства. Понятие ортогональной проекции и ортогональной составляющей.

Линейные пространства

Непустое множество векторов (элементов) , …, над которыми определены операция сложения двух векторов и операция умножения вектора на действительное число, причем выполняются условия (аксиомы): при всех ,

1) (аксиома коммутативности),

2) (аксиома ассоциативности),

3) существует единственный вектор такой, что (аксиома существования единственного нулевого вектора ),

4) существует единственный вектор такой, что (аксиома существования противоположного вектора ),

5) , 6) ,

7) , 8)

называется линейным пространством.

Задание 1. Выяснить, является ли множество элементов с введенными на нем операциями сложения двух элементов из и умножения элемента из на действительное число линейным пространством.

1.1. .

1.2. – множество функций , непрерывных на с операциями сложения функций и умножения функции на .

1.3. – множество вещественных матриц с операциями:

,

.

1.4. , ,

.

1.5. – множество всех функций , имеющих на отрезке конечное число точек разрыва первого рода; с обычными операциями сложения двух функций и умножения функции на число .

1.6. – множество квадратных матриц 3-го порядка с одинаковыми элементами, операции вводятся согласно матричной алгебре (см. 1.3).

1.7. , ,

.

1.8. – множество всех функций , имеющих на отрезке хотя бы один нуль ; с обычными операциями сложения двух функций и умножения функции на число .

1.9. , .

1.10. – множество всех функций , удовлетворяющих на отрезке теореме Роля; с обычными операциями сложения двух функций и умножения функции на число .

1.11. – множество симметрических матриц 2-го порядка .

1.12. , , .

1.13. – множество всех геометрических векторов в пространстве, параллельных фиксированной плоскости; с обычными операциями сложения двух векторов и умножения вектора на число .

1.14. , , .

1.15. , , .

1.16. , , .

1.17. – множество квадратных нижнетреугольных матриц 3-го порядка, для каждой из которых сумма диагональных элементов равна 0. Операции над матрицами определяются согласно матричной алгебре (см. 1.3).

1.18. , .

1.19. – множество всех геометрических векторов в пространстве, перпендикулярных фиксированной плоскости; с обычными операциями сложения двух векторов и умножения вектора на число .

1.20. , ,

.