1.2.1.1.5Использование пространственного вектора при математическом описании рабочих процессов в машине переменного тока

Между выражениями пространственного вектора в неподвижной и во вращающейся системах координат имеют место соотношения (1.21)

Второе уравнение (1.21) используется обычно для замены переменных при переходе к новой системе координат, а первое – для выражения в новой системе координат возмущающих функций, описанных переменными прежней системы.

Например, уравнение электрического равновесия цепи статора, записанное через обобщенные векторы напряжений, токов и потокосцеплений в неподвижной системе координат, имеет вид:

, (1.0)

где ,

а – угловая частота питающей сети.

То же уравнение в системе координат, вращающейся со скоростью ротора , когда и , согласно второго уравнения (1.21):

;

;

будет иметь вид:

. (1.0)

Распишем производную сложной функции

и подставим в выражение (1.26):

.

Сократив левую и правую часть полученного выражения на , окончательно получим уравнение электрического равновесия во вращающейся системе координат

, (1.0)

где согласно первого выражения (1.21) следует определить как

. (0)

В приведенном уравнении (1.27) индекс k указывает на замену переменных в связи с переходом к новой системе координат. В дальнейшем, если переход к новой системе координат поясняется сопровождающим текстом, индекс k для упрощения записи будет опущен. При этом пространственный вектор будет определен как выражение (1.28).

1.2.1.1.6Выводы

В теории электромагнитных переходных процессов электрических машин применяются обычно три координатные системы, являющиеся частными случаями координатной системы, вращающейся с произвольной скоростью : система координат d,q, неподвижная относительно ротора и вращающаяся вместе с ротором ( ); система координат α, β неподвижная относительно статора ( =0); система координат х, у вращающаяся в пространстве с произвольной скоростью . Замена переменных в уравнениях электрического равновесия машины производится с целью избавления от периодически изменяющихся коэффициентов в уравнениях потокосцеплений. Достижение поставленной цели возможно только в том случае, если новая система координат неподвижна относительно цепей, обладающих электрической или магнитной несимметрией.

Поэтому систему координат d, q, используют преимущественно для исследования режимов синхронных машин, а систему α, β – для исследования режимов асинхронных машин. Систему координат х, у целесообразно использовать только для исследования симметричных режимов асинхронных машин, если ее применение приводит к упрощению описаний возмущающих воздействий. Например, пространственный вектор питающего двигатель напряжения в системе координат α, β имеет вид:

,

а при переходе к системе координат х, у, вращающейся со скоростью , это напряжение согласно (1.21), преобразуется к виду .

1.2.1.2Обобщенная асинхронная машина

1.2.1.2.1Описание в абсолютных единицах

Обобщенная асинхронная машина показана на рисунке 1.50. Она содержит трехфазную обмотку на статоре и трехфазную обмотку на роторе. Обмотки статора и ротора подключены к симметричным трехфазным источникам напряжения. Уравнения равновесия э.д.с. на обмотках статора и ротора базируются на втором законе Кирхгофа [2].

Рисунок 1.50 – Обобщенная асинхронная машина

(1.0)

В уравнениях (1.29) фигурируют мгновенные напряжения, токи и потокосцепления статора и ротора, а также активные сопротивления обмоток. Обычно обмотки выполняются симметричными, и поэтому R_A=R_B=R_C=R_S – активное сопротивление статорной обмотки, R_a=R_b=R_с=R_R – активное сопротивление роторной обмотки.

Вторым используемым законом является закон Ампера, который связывает потокосцепления обмоток с токами, протекающими по обмоткам:

(1.0)

Уравнения для определения потокосцеплений показывают, что потокосцепление каждой обмотки зависит от токов во всех обмотках; эти зависимости проявляются через взаимоиндукцию. В уравнениях (1.30) L_АА, L_ВВ, L_СС, L_aa, L_bb, L_cc являются собственными индуктивностями соответствующих обмоток, все остальные – взаимоиндуктивностями между соответствующими обмотками.

Третьим законом, лежащим в основе анализа, является второй закон Ньютона – закон равновесия моментов на валу машины:

, (1.0)

где J (кГм²) – момент инерции на валу машины, учитывающий инерционность как самой машины, так и приведенной к валу инерционности рабочего механизма и редуктора;

,(рад/с) – угловая скорость вала машины;

М_С (Нм) – момент сопротивления рабочего механизма, приведенный к валу, в общем случае он может быть функцией скорости и угла поворота.

Наконец, четвертым и последним законом, лежащим в основе анализа машины, является закон, сформулированный Ленцем, как правило левой руки. Этот закон связывает векторные величины момента, потокосцепления и тока:

. (1.0)

Отметим, что, несмотря на полное и строгое математическое описание, использование уравнений (1.29)…(1.32) для исследования машины встречает серьезные трудности.

Перечислим основные:

– в уравнениях (1.31 и 1.32) фигурируют векторные величины, а в уравнениях (1.29 и 1.30) скалярные;

– количество взаимосвязанных уравнений равно 16, а количество коэффициентов — 44;

– коэффициенты взаимоиндукции между обмотками статора и ротора в уравнениях (1.30) являются функцией угла поворота ротора относительно статора, то есть уравнения (1.30) являются уравнениями с переменными коэффициентами;

– уравнение (1.32) является нелинейным, так как в нем перемножаются переменные.

На пути упрощения математического описания асинхронной машины, да и вообще всех машин переменного тока, удачным оказался метод пространственного вектора [4], который позволил существенно упростить и сократить вышеприведенную систему уравнений; метод позволяет связать уравнения (1.29…1.32) в единую систему с векторными переменными состояния. Суть метода состоит в том, что мгновенные значения симметричных трехфазных переменных состояния (напряжения, токи, потокосцепления) можно математически преобразовать так, чтобы они были представлены одним пространственным вектором.

Для преобразования уравнений (1.29) в мгновенных значениях к уравнениям в пространственных векторах умножим их на выражения: первые уравнения для фаз А и а на 2/3, вторые для фаз B и b – на 2/3 , третьи для фаз С и с – на 2/3 , и сложим раздельно для статора и ротора. Тогда получим:

(1.0)

где L_s, L_R – собственные индуктивности статора и ротора;

– взаимная индуктивность между статором и ротором.

Таким образом, вместо двенадцати уравнений (1.29, 1.30) получено лишь четыре уравнения (1.33).

Переменные коэффициенты взаимной индукции в уравнениях для потокосцеплений (1.33) являются результатом того, что уравнения равновесия эдс для статора записаны в неподвижной системе координат, связанной со статором, а уравнения равновесия эдс для ротора записаны во вращающейся системе координат, связанной с ротором. Метод пространственного вектора позволяет записать эти уравнения в единой системе координат, вращающейся с произвольной скоростью _к. В этом случае уравнения (1.33) преобразуются к виду:

(1.0)

где – частота вращения ротора;

р – число пар полюсов в машине.

В уравнениях (1.34) все коэффициенты являются величинами постоянными, имеют четкий физический смысл и могут быть определены по паспортным данным двигателя, либо экспериментально.

Момент в уравнении (1.32) является векторным произведением любой пары векторов. Из уравнения (1.34) следует, что таких пар может быть шесть ( ); ( ); ( ); ( ); ( ); ( ). Часто в рассмотрение вводится потокосцепление взаимной индукции . В этом случае появляется ещё четыре возможности представления электромагнитного момента машины через следующие пары: ( ); ( ); ( ), ( ). После выбора той или иной пары уравнение момента приобретает определенность, а количество уравнений в системе (1.34) сокращается до двух.

(1.0)

Кроме того, в уравнениях (1.31) и (1.32) векторные величины момента и скорости могут быть заменены их модульными значениями. Это является следствием того, что пространственные векторы токов и потокосцеплений расположены в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а векторы момента и угловой скорости совпадают с осью. В качестве примера покажем запись уравнений момента через некоторые пары переменных состояния машины (1.35).