1.2. Частотный метод синтеза
Частотный метод синтеза одноканальных систем основан на использовании асимптотических логарифмических амплитудных частотных характеристик этих систем. Расчетная структурная схема такой системы имеет вид, показанный на рис 2.
Рис. 2. Расчетная структурная схема системы
Поскольку передаточная функция разомкнутой системы есть
,
а передаточная функция замкнутой системы есть
, (1)
то при формировании определенной передаточной функции разомкнутой системы можно обеспечить требуемые свойства замкнутой системы.
Частотная характеристика разомкнутой системы
(2)
в диапазоне частот имеет различные прикладные интерпретации. Так в зоне нижних частот, где передаточная функция объекта по условию статики есть
частотная характеристика приводится к виду
.
В области высоких частот
,
поэтому
.
В зоне средних частот выполняется соотношение
,
поэтому
для
также оказывается справедливым
соотношение
.
Поскольку частотные характеристики замкнутой и разомкнутой систем связаны соотношением, аналогичным выражению (1), а из него следует, что на нижних частотах
,
а на высоких частотах
,
то наибольшее влияние разомкнутая система оказывает влияние на свойства замкнутой системы на средних частотах, где необходимо более тщательное формирование частотной характеристики.
Из (2) следует, что
.
Если под расчетной характеристикой понимать желаемую характеристику, то выражение для определения логарифмической амплитудной частотной характеристики звена коррекции принимает вид
.
Таким
образом, для построения звена коррекции
(регулятора) необходимо построить
логарифмическую амплитудную частотную
характеристику объекта
и желаемую
логарифмическую амплитудную частотную
характеристику, а затем вычесть их в
соответствии с последним выражением.
Для этого необходимо, прежде всего,
уметь строить логарифмические амплитудные
и фазовые частотные характеристики на
основе их математических выражений.
При этом построенная характеристика
должна учитывать требования к качеству
процессов в замкнутой системе. Кроме
того, необходимо уметь восстановить
передаточную функцию звена (коэффициент
усиления и значения постоянных времени)
по его логарифмической амплитудной
частотной характеристике.
Для
построения асимптотической логарифмической
амплитудной частотной характеристики
предварительно производится представление
передаточной функции разомкнутой
системы в виде произведения сомножителей,
типовые выражения и асимптотические
логарифмические амплитудные частотные
характеристики которых приведены в
табл. 1 (
– кратность множителя).
Таблица 1
Типовые выражения и асимптотические логарифмические амплитудные частотные характеристики сомножителей передаточной функции
Наименование звена |
Передаточная функция |
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика |
Пропорциональное |
|
|
Дифференцирующее |
|
|
Интегрирующее |
|
|
Форсирующее 1-го порядка |
|
|
Апериодическое 1-го порядка |
|
|
Окончание табл.1
Форсирующее 2-го порядка |
|
|
Апериодическое 2-го порядка |
|
|
,
,
Для
последних двух звеньев при
вводятся корректирующие характеристики,
позволяющие избежать больших ошибок
при изображении асимптотических
логарифмических амплитудных характеристик.
Действительный вид амплитудной
характеристики звена в области сопряжения
асимптот приведен на рис. 3, а график
коррекции – на рис. 4
Рис. 3. Логарифмическая амплитудная характеристика колебательного звена
Рис. 4. График поправок для коррекции ЛАХ
Построение асимптотической логарифмической амплитудной частотной характеристики объекта производится в следующей последовательности:
1. Передаточная функция системы приводится к нормированному виду, т.е.
и представляется в виде произведения простых множителей, т.е. последовательного соединения типовых звеньев.
2.
На частоте
(
)
фиксируется точка, соответствующая 20
lg
k,
где k
– статический коэффициент усиления
объекта.
3.
На оси частот в порядке возрастания
значений отмечаются частоты сопряжения
(
),
где i
– число типовых звеньев в передаточной
функции объекта.
4.
До первой частоты сопряжения строится
низкочастотная асимптота с наклоном
–20·r
дБ/дек, если
содержит r
идеальных интегрирующих звеньев, и
+20·r
дБ/дек, если
содержит r
идеальных дифференцирующих звеньев.
Эта асимптота (или ее продолжение) должна
проходить через точку 20 lg
k.
5. На первой частоте сопряжения происходит «излом» асимптотической амплитудной частотной характеристики в сторону, определяемую местоположением следующей постоянной времени. Излом равен –20·s дБ/дек (по часовой стрелке), если постоянная времени находится в знаменателе , и +20·s дБ/дек (против часовой стрелки), если постоянная времени находится в числителе , где s – степень комплексной переменной p, при которой стоит постоянная времени. Новая асимптота продолжается до следующей частоты сопряжения, где происходит новый излом.
6. Описанный в п. 5 процесс продолжается до исчерпания всех выделенных частот сопряжения.
Построение логарифмической фазовой частотной характеристики затруднений не вызывает, поскольку фазовые частотные характеристики звеньев-сомножителей имеют простой вид. Так:
– для
множителя k
;
– для
множителя
;
– для
множителя
.
Для
множителей
и
определение производимого ими фазового
сдвига производится через арктангенс
отношения мнимой части амплитудной
характеристики к вещественной, либо с
помощью номограммы, приведенной на рис.
5.
Рис. 5. Номограмма для построения фазовой частотной характеристики
При
значения фазовой частотной характеристики
набора таких множителей кратности
вычисляются
как
,
.
Частотная фазовая характеристика объекта строится путем суммирования частотных фазовых характеристик типовых звеньев, составляющих передаточную функцию объекта:
,
где s – число множителей передаточной функции.
■
Связь между логарифмическими характеристиками и показателями качества.
Построение желаемой асимптотической логарифмической амплитудной частотной характеристики. Желаемая логарифмическая амплитудная характеристика строится с учетом обеспечения требований к качеству работы в статике и динамике.
Статическую ошибку в системе порождает в основном возмущающее воздействие, поэтому качество работы системы в статике обеспечивается при выполнении условия
,
где
– максимально допустимая статическая
ошибка.
Величину
статической ошибки можно уменьшить
выбором значения коэффициента системы
(произведение коэффициентов усиления
объекта и регулятора). Для статического
режима ошибка определяется выражением
.
Отсюда следует расчетное соотношение для определения коэффициента усиления системы
.
Выбор значения коэффициента усиления системы с учетом допустимого значения ошибки определяет положение низкочастотной части желаемой асимптотической амплитудной частотной характеристики.
Для астатических систем, работающих в режиме линейной заводки, коэффициент усиления системы определяется на основе выражения
,
где
– некоторая константа.
Выше было отмечено, что наибольшее влияние на свойства замкнутой системы разомкнутая система оказывает в области средних частот, то построение желаемой асимптотической амплитудной частотной характеристики необходимо начинать именно с этой области частот.
Установлено,
что для обеспечения заданных динамических
качеств системы среднечастотная
асимптота ее логарифмической амплитудной
частотной характеристики должна иметь
наклон –20 дБ/дек и пересекать ось абсцисс
в точке
,
где
– частота среза, оцениваемая выражением
.
Здесь
и зависит от величины заданного
перерегулирования.
Длина
среднечастотного участка желаемой
логарифмической амплитудной частотной
характеристики определяется запасом
устойчивости по модулю, который
откладывается вверх и вниз по оси
ординат. Она составляет 1…1.5 декады, а
точка, соответствующая
,
находится посередине характеристики.
В этом случае будет обеспечено значение
перерегулирования
.
Для определения параметров логарифмической амплитудной частотной характеристики в зависимости от заданных показателей качества управления разработаны номограммы, приведенные на рис. 5. Ими необходимо пользоваться при построении желаемой логарифмической амплитудной частотной характеристики проектируемой системы.
Далее производится сопряжение среднечастотного участка желаемой логарифмической амплитудной частотной характеристики и ее низкочастотного и высокочастотного участков. Низкочастотная часть строится с учетом определенного выше коэффициента усиления, обеспечивающего требуемую статическую ошибку. Высокочастотная часть может совпадать с высокочастотной частью логарифмической характеристики исходной системы.