24. Перша і друга чудові границі.

Т

В

С

еор1.

Д

О

А

tgx

x>0

0<x<π/2

овед

S_трикAOC<S_{сектора}АОС<S_трикAOB; 1/2R²sinx<1/2R²x<1/2R²tgx => sinx<x<tgx

Поділимо на sinx:

sinx/sinx<x/sinx<tgx/sinx

1<x/sinx<1/cosx Заув: x/sinx i 1/cosx– парні ф-ї,нерівн правил для ІVчв

cosx<sinx/x<1 Заув: - в силу неперервн косинуса

–лема про 2-х міліц(х→0=>cosx→1)

Наслідки:

1. 

2. 

3. 

Теор2:

Наслідки:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

25. Число як границя збіжної монотонної послідовності.

26. Поняття фундамент послідов.Фундаментальність збіж послідов.

Послідов назив фун якщо

Права частина означення називається умовою Коші.

І нша форма умови Коші:

Лема 1 Якщо послідовність збіжна, то вона фундаментальна.

Доведення: Нехай

, - фундаментальна за означенням

Лема 2 Якщо послідовність фундаментальна, то вона обмежена

Доведення : В умові Коші покладемо

Виберемо , тоді

Оберемо . Отже,

,

Лема 3: Якщо деяка підпослід фунд послід збіжна, то її границя є границею усієї числової послідовності.

Доведення: Нехай - фундаментальна.

За умовою Коші

Оберемо так, щоб виконувалось

Перейдемо до границі, коли Критерій КошіДля того,щоб посл мала скінч lim необх ідост,щобвона була фунд.

- Фундаментальна

Доведення: Необхідність доведена в лемі 1. Доведемо достатність. - фундаментальна - обмежена Критерій коші дає необх і дост умову збіжності послідовності в термінах тільки самих членів послідовності без використання значення границі.

Теорема Штольца Нехай послідовність і нескінченно велика. Нехай послідовність має границю, тоді послідовність теж має границю, та

27. Критерій Коші збіжності числової послідовності.

Критерій Коші. Для того, щоб послідовність мала скінчену границю, необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальна.

Lim Xn=a, aєR => {Xn}фундаментальна.

n→∞

Дов.(для цього попередньо доведемо три леми) попереднє питання!!!

Леми доведено,тепер на основі цього доведемо Критерій Коші.

Дов. Необхідність випливає із ЛЕМИ 1

Достатність: {Xn}фундаментальна => за ЛЕМОЮ 2{Xn} обмежена => за теоремою Больцана-Вейерштрасса {Xnk}→a, aєR => за ЛЕМОЮ 3 lim Xn=a

k→∞ n→∞

Що вимагалося довести.

Зауваження.

Критерій Коші дає необхідну і достатню умову збіжності послідовностей ,в термінах тільки самих членів послідовності без використання значення границі.

28. Озн.Гейне:

Нехай розгляд ф-я

Озн1(За Гейне): Точка наз. границею ф-ії f(x) при , якщо для будь-якої послідовності точок множини Х такої, що .

такої, що : . .

Заув!Озн1 має зміст лише тоді, коли точок з Х, що .

Якщо аєR, то кажуть, що ф-я має скінченну границю.

Точка дотикання: Озн2: Точка наз. точкою дотикання множини Х, якщо існує послідовність точок та .

Заув! Якщо , то є точкою дотикання Х. Точка дотикання може належати чи не належати множині. Якщо Х необмежена зверху(знизу), то точкою дотикання є .

Теор: Точка є точкою дотикання Х тоді і тільки тоді, коли в будь-якому околі точки знайдуться точки множини Х.

Довед: : . . Розглянемо послідовність околів . , яка належить , тоді розглянемо утв. нами посл-ть , бо . Отже, за озн.1 побудована нами

29. Озн.Коші:

Озн1: Функція f(x) має границею число коли , якщо для такий, що .

Позн1: ;

.

Теор: Озн-ня за Гейне і Коші границі функції в точці дотикання множини визначення фун-ії рівносильні.

Довед: (за Гейне) (за Коші).

Від супротивного:

1)Нехай Утворимо послідовність околів т. ; ; . – суперечність

2) Нехай - точка дотикання ; ; .

Озн: Ф-я f(x) наз. неперервною в т. , якщо

Заув! f(x)-неперервна в т. тоді і тільки тоді, коли . Дійсно, якщо взяти послідовність виконується .