22. Монот послідовності. Ознака збіжності монотонної послідовності.

Озн. Верх(ниж)межею ЧП назив верх(ниж)межа множини знач цієї послід.

Познач:

Послідовність назив строго зрост (спад),якщо Позначення: (зростає), (спадає).

Озн.Послідовність називається зрост (спадною),якщо .

Озн.Якщо послідовність (строго) зрост або (строго) спадає, то вона називається строго монот(монот).

Зауваж,що зрост послід обмеж знизу,а спадна-зверху своїми перш член.

Теорема Вейєрштрасса.  зростаюча числова послідовність має

границю:скінченну, якщо послідовність обмеж зверху і нескінченну,якщо послідовність необмежена зверху,при чому

Якщо послідовність спадна, то вона має границю:скінченну, якщо послідовність обмежена знизу,нескінченну-якщо необмежена знизу, при чому

Довед: Нехай ,познач: Візьмемо О() -лівамежа околу

За означенням границі ,ми довели перше положення

Практично теорема використ у вигляді:зростаюча,обмежена зверху послідовність має границю;спадна:обмежена знизу послідовність має границю.

Заув: Навпаки,якщо послід збіжна,то вона обмеж,але не обов’язк монот.

23.Тоереми про границю суми, добутку, віднош чп.

Т1. Якщо послід {Xn} збіжна,то послід {|Xn|}теж збіж, причому limXn=a, aєR n→∞=>lim|Xn|=|a| n→∞ ||Xn|-|a||<=|Xn-a|

Заув:Навпаки взагалі невірно,але якщо{α_n}НМП,то для неї викон і оберн твердж.

Т2. Скінченна лін комб збіж послід є збіж послід,а її границя = лін комб границь заданих послідовностей.

Дов. Нехай limXn=a; limYn=b; a,bєR

n→∞ n→∞ =>за власт НМП(ця властивість:limXn=a,aєR {Xn}- НМП, де αn=Xn-a) Xn=a+αn, Yn=b+βn, де {αn}, {βn}-НМП

Для б-я λ, µєR λXn+ µYn=λ(a+ αn)+ µ(b+βn)= λa+µb+(λαn+ µβn) =>власт1

Lim(λXn+ µYn)= λa+µb

n→∞ Що вимагалося довести.

Т3. Якщо послід {Xn}, {Yn} збіжні,то їх добуток є збіж послід, причому:

Lim {XnYn}= (limXn)(limYn) (всюди n→∞)

Довед: lim Xn=a Xn=a+αn

n→∞ a,b єR => {αn},{βn} – НМП

lim Yn=b Yn=b+βn

XnYn=ab+(aβn+bαn+αnβn)

Т.4 Якщо {Xn},{Yn} збіж послід i для б-я nєN, Yn≠0,limYn=b ≠0, n→∞

тоді {Xn/Yn}- є збіжна послід та limXn/Yn= limXn/limYn(всюди n→∞)

Дов.

Xn/Yn- a/b = (a+αn)/(b+βn)-a/b=(ab+bαn-ab-aβn)/(b(b+βn))=1/b(Yn)*(bαn-aβn) – НМП. Довед, що 1/b(Yn) – обмеж послід, bне=0. 0<|b|/2<|b|. limYn=b => . |1/b(Yn)|=1/|b||Yn|<2/b²=> обмежена.

Зауваження.

Нехай { αn }, { βn } – НМП, βn≠0 для будь-яких nєN, тоді {αn/βn} може бути збіжною, НМП, або НВП. Тоді кажуть що є невизначеність типу 0/0 . Якщо задані дві нескінченно великі, то може виникнути невизначеність ∞/∞. Ці невизначеності розкрив спец методами в залежн від вигляду послід-й.

До цих двох основних невизначеностей зводяться и наступні невизначеності: ∞/∞=1/0/1/0=0/0; ∞-∞; 0*∞; 1^∞; 0⁰; ∞⁰