18. Єдиність границі послідовності.

Теорема. Послідовність точок розширеної числової прямої може мати на цій прямій лише одну границю.

Доведення (від супротивного):

Нехай є ; і , , aне=b

Тоді:

a<b - і , що не перетинаються ( =Ø)

x_n при n→∞ →a -

В силу того, що околи не перетинаються записані співвідношення не можливі, маємо суперечність.

19. Перехід до границі послідовності у нерівностях.

Теор1: Якщо х_n=a, aєRрозшир, nєN(стаціонарна послід), то

Довед: Теор2: (Лема про 2-х міліціонерів) нехай задано послідовності {x_n}, {у_n}, {z_n}. x_n, y_n, z_n є RNрозшир. a є Rрозшир починаючи з деякого номера виконується , тоді послід у_n має границю та

Довед: x_n →а→ .

(в одному околі і x_n і z_n)

Позначимо N₀=max{N₁, N₂, N₃}. Маємо: .

Наслідок: Нехай задано послід {x_n} i {y_n}

(викинули номери до N)

a) якщо x_n→+∞ при n→∞ → y_n→+∞ при n→∞

b) якщо y_n→-∞ при n→∞ → x_n→-∞ при n→∞

Довед: a) беремо z_n=+∞ (стаціон)

z_n→+∞ - виконується Лема

b) z_n<=x_n<=y_n, z_n=-∞…

Теор3: Нехай є {x_n}, {y_n}, {z_n}, x_n, y_n є Rрозшир.

a, b є Rрозшир., a<b тоді

Довед: a<b→

→

Наслідок1: нехай

20. Обмеженість збіжної послідовності

Озн1: Числова послідовність називається обмеженою зверху (знизу) , якщо множина її значень обмежена зверху (знизу)

Озн1’: ( )

Послідовн {x_n} назив обмеж, якщо вона обмеж і зверху і знизу, тобто

( )

Послід назив не обмеж зверху(знизу), якщо вона не є обмеж зв(зн)

Зауваж: якщо послід нескінченно велика, то вона не обмеж зв(зн); якщо ж послід не обмеж, то вона не обов’язково нескінченно велика.

Озн збіжності

Якщо та то послідовність збіжна

Теор: Якщо послідовність збіжна то вона обмежена

Доведення

Позн d=max

a-d<= <=a+d

Отже обмежена

21. Теорема Больцано-Вейєрштрасса

Озн: Нехай задана ЧП . Підпослід цієї послід назив послід , яка утвор з членів заданої послід так, що номери йдуть в порядку зростання.

- це номер члена підпослідовності в заданій послідовності;

k - номер члена підпослідовності.

Теорема Больцано-Вейєрштрасса 1)З будь-якої обмеж ЧП можна виділити збіжну підпослідовність. 2)З будь-якої необмеж зверху (знизу) ЧП можна виділити підпослід, що має границею +∞,-∞.

Доведення 1)Принцип компактності числової прямої.

Задано – обмежена.

-деякий член послідовності. Поділимо відрізок навпіл та позначимо ту половину, яка містить нескінченну кількість членів послідовності .

Вибираємо елем , - член нашої послід і . Вибираємо елемент

Через к кроків маємо к=0,1,2.......

к=1,2,3....

Зауважимо, що

Отже, система відрізків є системою вкладених стяжних відрізків, тому існує єдина точка ξ, яка належить перетину всіх цих відрізків, причому ( ) - збіжна. Доведено.

2) -необмежена зверху.

................................................

с=k

За наслідком леми про міліц маємо