14. Зчисленна потужність
Озн: Множина – рівнопотужна N називається зчисленною множиною , а потужність (N) – зчисленна потужність
Властивості зчисленних множин
1) будь-яка нескінченна множина містить зчисленну підмножину.
Доведення: Нехай Х –нескінченна множина, тоді х1 Х
Розглянемо множину Х\{x1} 0 . х2 Х\{x1}, продовжуючи цей процес , побудуємо множину {x1,x2,…,xn,…} X
2) Будь-яка нескінченна підмножина зчисленної множини – зчисленна.
3) Якщо кожна з множин x1,x2,…,xn,… не більше ніж зчмсленна ( зкінченна або зчисленна), то об’єднання цих множин, теж не більше ніж зчисленна.
Теорема: Множина всіх раціональних чисел - зчисленна
Доведення: Випишемо всі раціональні числа, подавши їх у вигляді таблиці, що має нескінченну кількість рядків і стовбців.
В кожному n-му рядку роз-ні раціональні нескоротні дроби із знаменником n
Після впорядкування: Q~N
Теорема: будь- який відрізок множини дійсних чисел складається з несчисленної множини точок.
15. Континуальна потужність
Зауваження: [a,b]~[c,d]~ [0,1]
([0;1]) – континуальна потужність
R ~ (0;1) ~ [0,1]
Отже (R) = ([0,1]) ( (R)- континуальна потужність)
Гіпотеза Кантора : Не існує потужності більшої за счисленну і меншої за континуальну.
Доведення (від супротивного)
[a,b] , a<b , a,b R Припустимо , що відрізок – счисленна множина
[a,b]={x1,x2,…,xn,…}
[a1,b1] [a,b] x1 не [a1,b1] x1 не [a2,b2] [a1,b1] [a,b]
Одержимо
систему вкладених відрізків [an,bn]
[a,b]
, вони не містять точок x1,x2,…,xn
.Отже жодна точка хn,
n
N
не буде належати прерізу вкладених
відрізків.
[an,bn]
З іншого боку вкладені відрізки мають:
[an,bn] n N
[a,b] => n0 N
=xn0 => xn0= [an0,bn0] - суперечність по будові вкладених відрізків
Висновок :відрізок АВ – несчисленний
16. Поняття границі числової послідовності. Збіжні та нескінченно великі послідовності.
ЧП назив відображ f, яке діє з множ натур чисел в множ Х, де Х-числ множ.
f:N→X, Xc
Образ f(n)=позн=xn – загал член послідовності, хncX.
Надалі, ЧП познач {xn}, xnєХ, Хє , nєN.
О1. Границею ЧП {xn} назив число а, що ає таке,що б-я окіл числа а містить всі члени послідовності {xn}, починаючи з деякого номера.
Зауваж: 1) Зовні вказаного околу лежить лише скінченна к-сть члені послідов(до деякого номеру)
2)На збіжність послідовності не вплив відкидання скінченної к-сті членів послідовності.
О1’:
,
a,xnє
Зауваж:
(інше
познач lim)
xn
n→∞→a
Частинні
вип 1: І.
якщо хn=a,
a єR
ІІ. Якщо xn має нескінченну границю, то вона назив нескінченно великою послідовністю.
17. Поняття нескінченно малої послідовності. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.
О1.
Послідов
αn
назив
НМП 
.
Тобто
.
Власт1:
- НМП
({xn}
- збіжна)
Довед:
– НМП
Власт2: Скінченна лін комб НМП є НМП
Довед:
Розглянемо
2 послід, які є НМП. Нехай {αn}
I
{βn}
НМП 
.
Власт3: Добуток НМП на обмеж послідов є НМП
Довед: Нехай {xn} - обмеж, {αn} – НМП. Доведемо, що {xn, αn} – НМП
{xn}
- обмеж 
{αn}
– НМП 
Наслідок: Добуток скінченного числа НМП є НМП.
Довед: нехай {αn}, {βn}-НМП. {βn} НМП→{βn} збіж→{βn} обмеж. Тобто {αn}-НМП, {βn} обмеж →за вл 3 {αn, βn} – НМП.
Власт4: 1)якщо послід {xn} нескінченно велика, то почин з деякого номера послід {1/xn} - НМП.
2)якщо
послід {αn}
НМП, αnне=0
– НВП.
Довед:
{xn}
НВП 