11. Принцип Архімеда.

Т. Для б-якого a існує n натуральне(n>0), таке що n>a. Дов(від супротивного). Нехай N обмеж зверху . Скористаємося означенням sup . Виберемо --суперечність.

Наслідок— принцип Архімеда: Для . Доведення: Розглянемо число b/a і застосуємо до нього теор:

b/a , що і треба було довести.

Зауваження: 1)якщо Х-необмеж зверху, то вважають supX=+∞

2)якщо Х-необмеж знизу inf X=-∞

12. Принцип вкладених відрізків

Озн 1: Сист числ відр [a1,b1], [a2,b2]… [an,bn],наз сист вкладених відрізків(СВВ), якщо a1<=a2<=…<=an<=bn<=…<=b2<=b1, тобто [an,bn] n+1;bn+1],

Теорема. Б-яка СВВ має непорожній переріз .

Доведення: A={a_m, m N}—множина лівих кінц відр

B={b_n, n N}—правих

Для б-я m,n N з озн СВВ вик a_m<=b_n. За аксіом неперерв множ дійсн чисел

нал всім відр, тому їх переріз непорожній.

Озн Сист відр [an;bn] , n—натуральне, називається с-мою стяжних відр, якщо довжини цих відрізків (bn-an) 0, коли .

Принцип вкладених відрізків. Для б-якої СВВ існ єдина точка , що нал всім відр сиситеми, при чому

Дов:З теореми випливає, що переріз всіх відр непорохній. Доведемо, що цей переріз скл з єдиної точки (від супротивного).

Нехай, .

За означенням стяжних відр вик (bn-an)<ε . Виберемо ε= , тоді маємо співвідн --суперечність. Отже --єдина.

Зауваження an<=sup{an}<= <=inf{bn}<=bn, для б-якогог нат n. В силу єдиності маємо sup{an}=inf{bn}= .

Якщо замість відр розгл інтервали або пііввідрізки, то заданий принцип не має місця пуста множина

13. Еквівалентність множин та поняття потужності

Озн: множини А і В називаються еквівалентними, якщо існує бієктивне відображення з А в В ( f:A B)

Позн: А~B

Властивості еквівалентних множин

1. A~A (рефлективність)

2. A~B => B~A (симетричність)

3. A~B B~C => A~C (транзитність)

4. Ai~Bi , i L , Ai Aj = , Bi Bj 0 , i j => UAi~Ubi

Спитаючись на властивість еквівалентності множин можна розподілити всі множини по класам еквівалентності. Такі різні класи не перетинаються між собою.

Множини одного класу еквівалентності називаються рівнопотужними. Кожній множині з класу еквівалентності приписують число, що називається потужністю і позначається (A) , де А – представник класу еквівалентності.

Озн: Множина А називається скінченною, якщо n N| , що А ~{1,2,…,n} причому n називається числом елементів множини А.

Порожня множина – скінченна, а ( )=0

Теорема: 2 скінченні множини еквівалентні ( рівні) тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову кількість елементів.

Озн: Якщо множина не є скінченною , то вона називається нескінченною.

Приклад: множина парних натуральних чисел рівнопотужна множині натуральних чисел.

Між елементами існує бієкція

1. f 2n , n N|

2. множина цілих чисел рівнопотужна множині цілих чисел Z~N 2n n, n=1,2,… 2n+1 -n , n=0,1,2…

3. будь-які 2 скінченні інтервали ( відрізки) рівнопотужні [a,b]~[c,d] , a,b,c,d R , a<b , c<d (x-a)/(b-a)=(y-c)/(d-c) ; y= c+ (d-c)(x-a)/(b-a)

4. множина дійсних чисел рівнопотужна будьякому скінченному інтервалу R~(a,b) з приклада 3 (a,b)~(c,d)~(0,1) встановимо бієкцію між (0,1) і R f: (0,1)->R f(x)=ctgПx

5. x R f:N->X f(n)=xn X , кажуть , що задана числова послідовність, причому xn- центральний член послідовності, який набуває значення з множини Х. {xn,n N} Послідовність еквівалентна N,тобто нескінченна,а значення,які набувають члени послідовності можуть складати скінченну множину (Х-скінченна)

Правила порівняння потужностей

1) (А)= (В) <=> A~B

2) (А)< (B)(A не~B)^( C<B,C~A)

3) (A)< (B) => (B)> (A)

4) (A) (B) ( (A)< (B)) ( (A)= (B))