7. Розширення множини дійсних чисел

Множ R відображається чис прямою, тобто кожному дійс числу поставлена у відповід одна і тільки одна точка числової прямої. В багатьох випадках зручно доповнити множину R елементами - (невласні дійсні числа)

Означення: множина =R - називається розширеною множиною дійсних чисел, де - - невласні дійсні числа, при чому вик такі умови:

1) R викон - < a <+ ;

а (- )= ;

a (+ )= ;

a/+ = a/- = 0

2) якщо a>0,то a(- )=- a(+ )=+

3) якщо a>0,то a(- )=+ a(+ )=-

Для 0 ця операція невизначена.

Підмножинами розширеної множини дійсних чисел є числові проміжки: відрізок,інтервал, пів відрізок, пів інтервал – числові множини спец вигляду

[a,b] = x : a≤x≤b

(a,b) = x : a<x<b

[a,b) = x : a≤x<b - піввідрізок

(a,b] = x : a< x≤b - півінтервал

a,b- кінець проміжку, якщо а,b R, то визнач довж проміжку b-a,точки x a<x<b наз. внутр. точка проміжку

ε-околом скінченої точки х₀ є R наз. множина О_ε (х₀) = x R: х₀-ε<x< х₀+ε =( х₀-ε; х₀+ε)

ε- околом нескінченно віддаленої точки називається множина

О_ε (+ )=( ;+ ],ε>0

О_ε(- )=[- ;- ),ε>0

Проколеним околом скінченої точки х₀ R наз. О_ε(х₀) = О_е (х₀)\ х₀ (окіл точки без точки х₀

Зауваження: З означення околів точок R випливає така властивість точок розширеної числової осі: у двох будь-яких різних точок з є околи, що не перетинаються.

8. Основні характеристики дійсного числа.

Основні хар-ки дійсного числа – модуль і знак.

хє

О. Модулем дійсного числа х наз. число |x| ={x , при x>=0, або -x ,при x<0.

О. Знак дійсного числа визначається рівністю sgn(x)={1 при x>0, або 0 при x=0, або -1 при x<0.

Очевидні співвідношення: х= /х/ sgn(x), /х/= х sgn(x), sgn(x*у)= sgn(x)* sgn(у).

Властивості модуля

1) |x|>=0; |x|=0  x=0

2) |x|=|-x|

3) |x|>=x; |x|>=-x

4) |xy|=|x||y|; |x/y|=|x|/|y| , y<>0.

5) ||x|-|y||<=|x+-y|<=|x|+|y|

6) |x-x₀|<a, a>0 x є (x₀-a; x₀+a)

|x-x₀|>a x є (-∞; x₀-a)U(x₀+a; +∞)

|x-x₀|<=a, a>0 x є [x₀-a; x₀+a]

|x-x₀|>=a x є (-∞; x₀-a]U[x₀+a; +∞)

Зауваження: можна ввести такі характеристики:

х⁺ - додатна ч-на х; х^- - відємна ч-на х.

Властивості:

1. x⁺+x^-=|x|

2. x⁺-x^-=x

9. Обмежені та необмежені числові множини.

О. Числова множина –це підмножина множини дійсних чисел.

О. Числова множина Х наз обмеженою зверху якщо існує М є R, таке що для будь-якого хє Хвиконується х<=M.

Число М наз обмежувальним зверху множину Х, воно не єдине.

О. Числова множина Х наз обмеженою знизу, якщо існує m є R, що для будь-якого х єХ виконується х >=m.

Число m – обмежувальне знизу множину Х.

О. Множина Х наз обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу.

Х не обмежена зверху, якщо для будь-якого М є R існує х є Х таке, що х>M.

X не обмежена знизу, якщо для будь-якого m є R існує х є Х таке, що х<m.

О. Множина Х наз необмеженою якщо вона не є обмеженою зверху і знизу, тобто вона не є обмеженою.

10. Верхня та нижня межа множини.

О.1. Нехай числова множина Х обмежена зверху. Найменше серед усіх чисел обмежувальних зверху множину Х наз її (точною) верхньою межею, і позначається: supremum ( supX або supх, хєХ).

Нехай числова множина Х обмежена знизу. Найбільше серед усіх чисел обмежувальних знизу множину Х наз його (точною) нижньою межею, і позначається: infimum (infX або infх, хєХ).

О.1^’: Число β=supX наз верхнею межею множини якщо:

1) для б-я хєХ (х<=β) 2) для б-я β1<β, β1єR існує хєХ (х>β1) або для б-я ε>0 існує хєХ таке що (х>β-ε)

Число α=infX наз нижньою межею множини якщо:

1) для б-я хєХ (x>=α) 2) для б-я α1>α, α1єR існує хєХ (х<α1) або для б-я ε>0 існує хєХ таке що (х<α+ε)

Теор1.Б-я обмеж зверху(знизу) не порож числ множ має верх(ниж) межу.

Доведення. Нехай розглядається числова множина А , А≠Ø і обмежена зверху. Позначимо В – множина всіх обмежувальних зверху чисел. Тоді для б-як aєА і для б-я bєВ викон a<=b. За аксіомою неперервності R існує дійсне число cєR таке що a<=c<=b.

Для б-я аєА а<=c => c-обмежувальне, c<=b => c-найменше з усіх обмежувальних. За О.1 sup маємо, що c – supA. Доведено.

Зауваження. Якщо Х – необмежена зверху, то кажуть supX=+∞, Якщо Х – необмежена знизу, то кажуть infX=-∞.

Висновок. Кожна числова множина має верхню (нижню) межу, скінченну або нескінченну.

Наслідок з теореми 1.

Якщо для будь-якого aєR та хєХ виконується х<=a (x>=a), то supX<=a (infX>=a).

В нерівностях можна переходити до супремуму та інфимуму.

О. Арифметичною сумою числових множин Х1,Х2,...,Хn наз множина Х1+Х2+...+Хn що склад з дійсн чисел вигляду x1+x2+…+xn, де x_i є Х_і, і=1,n.

Ариф різниц числ множ Х-У наз множ що скл з елем вмду х-у,де xєХ, уєУ.

О. Добутком множин Х на число λ наз множ λХ, що склад з елем λх, хєХ.

Арифметичні властивості верхніх і нижніх меж:

1) sup(X1+X2+…+Xn)= sup(X1)+ sup(X2)+…+sup(Xn)

inf(X1+X2+…+Xn)= inf(X1)+ inf(X2)+…+inf(Xn)

2) λ>0: sup (λX) = λ supX

inf (λX) = λ infX

λ<0: sup (λX) = λ infX

inf (λX) = λ supX

3) sup (X-Y) = supX-infY.