34. Еквівалентні функції.
Ф-ція f і g наз еквівалентними при х→х0 якщо f-g =о(f) або о(g).
Позн. f(х) ~ g(х), х→х0
f~ g, х→х0
Доведення:
f~ g
якщо
=1→
теорема про НМФ→
=1+α(х),
х→х0
→ f(х) =φ(х)g(х)=(1+ α(х)) g(х)= g(х) + α(х)g(х)--
g(х) + о(g).
Пари еквів ф-й: х→0
sinx~x 1-cosx~1/2x2 (1+x)α-1~αx
tgx~x ax-1~xlna
arcsin~x loga(1+x) ~x/lna
arctgx~x ln(1+x) ~x
Т: для того, щоб ф-я f була еквыв g, х→х0 неох і дост щоб
f(х) = g(х) + о(g(х)).
Т2:
Якщо ф-ція f~ f1,
g~ g1,
х→х0
та 
→
→
Дов. О(х0), φ(х), ψ(х)
х є Х О(х0)
f(х)
=φ(х)f1(х),
φ(х)
1
g(x) = ψ(х)g1(x), ψ(х) 1
Тоді,
=
=
35. Критерій Коші існування границі функції.
Т.
Критерій Коші: Для того, щоб ф-ція 
мала скінчену границю х→х0
необхідно і достатньо, щоб 
,
х0є
,
a є
↔
ε
0
O(x0):
x1,x2
X
O(x0)(|
-
|<ε)
ε
0
O(x0):
x1,x2
X
O(x0)(|
-a|
)<
)^
)<
|
-
|=(|
-a)
+
≤|
-a|
+
<ε.
Достатність:
{xn},
xn
є X, 
=x0
n0
0
O(x0)
X;
0
O(x0)
X
За
припущенням: |
-
|<ε→
послідовність f(xn)
фундаментальна. За критерієм Коші для
послід ця послід має скінчену
границю(
=аєR)
→
{xn},
xn
є X,
=x0→
=аєR→
=а,
х0є
,
a є
.
Т.
=а,
х0є
,
a є
.
Тоді і тільки тоді, коли
ε 0 O(x0): x1,x2 X O(x0)(| - |<ε)
36. Границі монотонних функцій.
Озн.
↑,
х є Х↔
х1,х2
є Х: х1<х2
(
≤
↓ ≥
↑↑, х є Х↔ х1,х2 є Х: х1<х2 ( <
↓↓ >
Озн. Верхньою(нижньою) межею ф-ції наз верхня(нижня) межа множини значень цієї ф-ції.
Позн. supf=supf(x), x X
=inf f(x), x X
Т.
Нехай ф-ція .
↑((↓))
на Х. Нехай 
=іnfх,
=supх
∉Х,
∉Х
→існують скінчені або нескінчені
визначеного знаку границі ф-ції
при х→α справа та при х→
зліва.
При
чому, 
=іnf
f ((supf))
=
supf ((іnf f))
Зауваж.
Якщо
обмежена зверху, то supf-скінчений і
границя зліва скінчена. Якщо
необмежена зверху, то supf- +
і границя зліва-+
Якщо обмежена знизу, то границя справа скінчена, і якщо ні--
Доведення. Нехай ↑, х є Х. позначимо b= supf(x)= supf єR
Доведемо,
що 
=
supf .
Виберемо
довільний окіл т. b . Позначимо 
лівий
кінець околу.
З оз-ня sup→ ξєХ(η<f(ξ)≤b)
ξ
є Х → ξ≤
→ ξ<
(
≠Х)→
х
є Х(ξ<х<
)
↑→η< f(ξ)≤
≤b→
єО(b).
Для б-я околу т b(лівий кінець ε) існує окіл т. (лівий кінець т. ξ) такий, що для б-я х є О( ) Х→ єО(b)→ = supf
Наслідок.
Нехай ф-ція . 
↑((↓))
на інтервалі (а, b) та хоє(а,
b) . Тоді в т хо
ф-ція
має скінчені, односторонні границі
(хо-0);
(хо+0);
хо
є(а, b) . Розіб’ємо проміжок- (а, хо
)( хо
,b) . Беремо (а, хо
): хо
=
= supх=supf .
≤
,
х≤х0,
отже існує скінчена границя.
37. Поняття неперервності функції в точці. Одностороння непер-сть.
Озн.
Ф-ція
наз неперервн в т. х0
є
Х
↔ 
f(x0)
Озн. Ф-ція наз неперервн зліва(справа) в т. х0 є Х ↔ f(x0), х є Х_(хо) (х є Х+(хо))
Т.:
Ф-ція
неперервн в т. х0
є
Х
тоді і тільки тоді 
х є Х_(хо) (х є Х+(хо)
Локальні властивості непер ф-цій:
1.
Якщо
неперервн в т. х0,
то
О(x0)
що
буде обмежена х
Х
О(x0)
2. Якщо неперервн в т. х0, f(x0)≠0→ О(хо) с>0 х Х О(x0)
>c,
f(x0)>0
або
<-c,
f(x0)<0.
3. Якщо = const→ неперервн в т. х0 є Х
4.
Якщо
,
g(x) неперервн в т. х0
є
Х→
,
R
g(x),
,
g(x) ≠0 є не перерв в т хо.